如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),在梯形OABC的邊上運(yùn)動(dòng),路徑為O→A→B→C,到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時(shí),求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時(shí),請(qǐng)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不要求過程,只需寫出結(jié)果).
分析:(1)首先過點(diǎn)C作CE⊥OA于E,過點(diǎn)B作BF⊥OA于F,易得四邊形CEFB是矩形,△OCE與△ABF是等腰直角三角形,繼而可求得OA,CE的長,即可求得梯形OABC的面積;
(2)由直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分,即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法即可求得直線CP的解析式;
(3)分別從點(diǎn)P在OA上,在AB上,在BC上去分析求解,即可求得答案.
解答:解:(1)過點(diǎn)C作CE⊥OA于E,過點(diǎn)B作BF⊥OA于F,
∵CB∥OA,
∴∠CEF=∠BFE=∠ECB=90°,
∴四邊形CEFB是矩形,
∴EF=BC=6,BF=CE,
∵∠COA=45°,
∴CE=OE=OC•sin∠COE=4×
2
2
=2
2
,
∵四邊形OABC是等腰梯形,
∴∠BAO=∠COA=45°,
同理可得:BF=AF=2
2
,
∴OA=OE+EF+AF=6+4
2
,
∴S梯形OABC=
1
2
(BC+OA)•CE=
1
2
×(6+6+4
2
)×2
2
=12
2
+8;

(2)∵直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分,
∴S△OPC=
1
2
S梯形OABC=6
2
+4,
∵S△OPC=
1
2
OP•CE,
1
2
×OP×2
2
=6
2
+4,
∴OP=6+2
2
,
∴點(diǎn)P(6+2
2
,0),
∵點(diǎn)C(2
2
,2
2
),
設(shè)直線CP的解析式為:y=kx+b,
(6+2
2
)k+b=0
2
2
k+b=2
2
,
解得:
k=-
2
3
b=2
2
+
4
3
,
∴直線CP的解析式為:y=-
2
3
x+2
2
+
4
3
;

(3)①當(dāng)P在OA上時(shí),
若OP=OC時(shí),OP=4,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,0);
若OC=CP時(shí),則OE=PE=2
2

即OP=4
2
,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4
2
,0);
若CP=OP時(shí),
∵∠COA=45°,
∴∠PCO=∠COA=45°,
∴∠OPC=90°,
∴OP=OC•cos∠COA=2
2

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2
2
,0);
②當(dāng)P在AB上時(shí),OP>OB,PC<AC,
∵OB=AC,
∴OP>PC,
∵PC>BC>OC,
∴OP>PC>OC,
∴此時(shí)不存在點(diǎn)P使得△OCP是等腰三角形;
③當(dāng)點(diǎn)P在CB上時(shí),
若CP=OC,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2
2
+4,2
2
).
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(4,0),(4
2
,0),(2
2
,0),(2
2
+4,2
2
).
點(diǎn)評(píng):此題屬于一次函數(shù)的綜合題,考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、等腰梯形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì).此題難度較大,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用.
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精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),但是點(diǎn)P不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合.連接CP,D點(diǎn)是線段AB上一點(diǎn),連接PD.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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(2012•渝北區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(nèi)(包括邊界)的所有整數(shù)點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))中任意選取一個(gè)點(diǎn),其橫、縱坐標(biāo)之和為0的概率是
5
29
5
29

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如圖,在平面直角坐標(biāo)中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),則AC長為
5
5

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如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知點(diǎn)A(-5,0),P是反比例函數(shù)y=
k
x
圖象上一點(diǎn),PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為( 。

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