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（本小題滿分12分）
已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和4個(gè)黑球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球.
（Ⅰ）求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率；
（Ⅱ）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球恰有1個(gè)為黑球”為事件A；“從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球都是黑球”為事件B，求在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率；
（Ⅲ）設(shè)為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。

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三、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

A

B

B

D

B

D

A

B

C

B

四、填空題

13．2     14. 31    15.     16.  2.

三、解答題

17．17．解：（Ⅰ）．

的最小正周期．

（Ⅱ）由解得

∴ 的單調(diào)遞增區(qū)間為。

18．（Ⅰ）解：設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為紅球”為事件，“從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為紅球”為事件．由于事件相互獨(dú)立，且

，，

故取出的4個(gè)球均為紅球的概率是

．

（Ⅱ）解：設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)紅球?yàn)楹谇颉睘槭录?sub>，“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球”為事件．由于事件互斥，且

，．

故取出的4個(gè)紅球中恰有4個(gè)紅球的概率為

．

19．（Ⅰ）取DC的中點(diǎn)E.

∵ABCD是邊長為的菱形,，∴BE⊥CD.

∵平面, BE平面，∴ BE.

∴BE⊥平面PDC.∠BPE為求直線PB與平面PDC所成的角. 

∵BE=，PE=,∴==.  

（Ⅱ）連接AC、BD交于點(diǎn)O，因?yàn)锳BCD是菱形，所以AO⊥BD.

∵平面, AO平面，

∴ PD. ∴AO⊥平面PDB.

作OF⊥PB于F，連接AF，則AF⊥PB.

故∠AFO就是二面角A－PB－D的平面角.

∵AO=，OF=，∴=.

20．解：（1）令得所求增區(qū)間為，。

（2）要使當(dāng)時(shí)恒成立，只要當(dāng)時(shí) 。

由（1）知

當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，；

當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，；

當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，

由，因此故。

21. 證明：由是關(guān)于x的方程的兩根得

。

，

是等差數(shù)列。

（2）由（1）知

。

。

又符合上式， 。

（3） ①

  ②

①―②得 。

。

22． （1）∵

∴ 

令，∴或

若，

在點(diǎn)附近，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

∴是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為；

在點(diǎn)附近，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

∴是函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為

若，易知，

是函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為；

是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為

（2）若在上至少存在一點(diǎn)使得成立，

則在上至少存在一解，即在上至少存在一解

由（1）知，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上遞增，且極小值為

∴此時(shí)在上至少存在一解； 

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上遞增，在上遞減，

∴要滿足條件應(yīng)有函數(shù)的極大值，即

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為或。