(Ⅱ)判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)?并說明理由, 【查看更多】

若函數(shù)f（x）同時滿足下列兩個性質，則稱其為“規(guī)則函數(shù)”
①函數(shù)f（x）在其定義域上是單調函數(shù)；
②在函數(shù)f（x）的定義域內存在閉區(qū)間[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是

a

2

，且最大值是

b

2

．
請解答以下問題：
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）=x²-2x，（x∈（0，+∞））是否為“規(guī)則函數(shù)”？并說明理由；
（Ⅱ）判斷函數(shù)g（x）=-x³是否為“規(guī)則函數(shù)”？并說明理由．若是，請找出滿足②的閉區(qū)間[a，b]；
（Ⅲ）若函數(shù)h(x)=

x-1

+t是“規(guī)則函數(shù)”，求實數(shù)t的取值范圍．

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給出函數(shù)封閉的定義：若對于定義域D內的任意一個自變量x₀，都有函數(shù)值f（x₀）∈D，稱函數(shù)y=f（x）在D上封閉．
（1）若定義域D₁=（0，1），判斷函數(shù)g（x）=2x-1是否在D₁上封閉，并說明理由；
（2）若定義域D₂=（1，5]，是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)=

5x-a

x+2

在D₂上封閉？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（3）利用（2）中函數(shù)，構造一個數(shù)列{x_n}，方法如下：對于給定的定義域D₂=（1，5]中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…在上述構造數(shù)列的過程中，如果x_i（i=1，2，3，4…）在定義域中，構造數(shù)列的過程將繼續(xù)下去；如果x_i不在定義域中，則構造數(shù)列的過程停止．
①如果可以用上述方法構造出一個無窮常數(shù)列{x_n}，求實數(shù)a的取值范圍．
②如果取定義域中任一值作為x₁，都可以用上述方法構造出一個無窮數(shù)列{x_n}，求實數(shù)a的取值范圍．

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已知函數(shù)y=f（x），x∈D，如果對于定義域D內的任意實數(shù)x，對于給定的非零常數(shù)m，總存在非零常數(shù)T，恒有f（x+T）＞m•f（x）成立，則稱函數(shù)f（x）是D上的m級類增周期函數(shù)，周期為T．若恒有f（x+T）=m•f（x）成立，則稱函數(shù)f（x）是D上的m級類周期函數(shù)，周期為T．
（1）試判斷函數(shù)f（x）= $數(shù)學公式$ 是否為（3，+∞）上的周期為1的2級類增周期函數(shù)？并說明理由；
（2）已知函數(shù)f（x）=-x²+ax是[3，+∞）上的周期為1的2級類增周期函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）下面兩個問題可以任選一個問題作答，如果你選做了兩個，我們將按照問題（Ⅰ）給你記分．
（Ⅰ）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上m級類周期函數(shù)，且y=f（x）是[0，+∞）上的單調遞增函數(shù)，當x∈[0，1）時，f（x）=2^x，求實數(shù)m的取值范圍．
（Ⅱ）已知當x∈[0，4]時，函數(shù)f（x）=x²-4x，若f（x）是[0，+∞）上周期為4的m級類周期函數(shù)，且y=f（x）的值域為一個閉區(qū)間，求實數(shù)m的取值范圍．

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給出函數(shù)封閉的定義：若對于定義域D內的任意一個自變量x₀，都有函數(shù)值f（x₀）∈D，稱函數(shù)y=f（x）在D上封閉．
（1）若定義域D₁=（0，1），判斷函數(shù)g（x）=2x-1是否在D₁上封閉，并說明理由；
（2）若定義域D₂=（1，5]，是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)=

5x-a

x+2

在D₂上封閉？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（3）利用（2）中函數(shù)，構造一個數(shù)列{x_n}，方法如下：對于給定的定義域D₂=（1，5]中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…在上述構造數(shù)列的過程中，如果x_i（i=1，2，3，4…）在定義域中，構造數(shù)列的過程將繼續(xù)下去；如果x_i不在定義域中，則構造數(shù)列的過程停止．
①如果可以用上述方法構造出一個無窮常數(shù)列{x_n}，求實數(shù)a的取值范圍．
②如果取定義域中任一值作為x₁，都可以用上述方法構造出一個無窮數(shù)列{x_n}，求實數(shù)a的取值范圍．

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對于函數(shù)

（

，D是此函數(shù)的定義域），若同時滿足下列條件：
①

在D內單調遞減或單調遞增；
②存在區(qū)間[a，b]

D，使

在[a，b]上的值域為[a，b]；
那么把

叫閉函數(shù)；
（1）求閉函數(shù)

符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（2）判斷函數(shù)

是否為閉函數(shù)？并說明理由；
（3）

是閉函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍。

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一．選擇題：CCBAB BBADA

解析：1：由映射概念可知可得.故選.

2：如圖，＋3＝，在中，由余弦定理得｜＋3|=｜｜＝，故選C。

3：取，由圖象可知，此時注水量大于容器容積的，故選B。

4：因為三角形中的最小內角，故，由此可得y=sinx+cosx>1，排除B,C,D，故應選A。

5：取x＝4，y＝?100%≈－8.3%，排除C、D；取x＝30，y ＝ ?100%≈77.2%，排除A，故選B。

6：等差數(shù)列的前n項和S_n=n²+(a₁-)n可表示為過原點的拋物線，又本題中a₁=-9<0, S₃=S₇,可表示如圖，由圖可知，n=,是拋物線的對稱軸，所以n=5是拋物線的對稱軸，所以n=5時S_n最小，故選B。

7：∵A，B是一對矛盾命題，故必有一真，從而排除錯誤支C，D。又由ab<0，可令a=1,b= －1，代入知B為真，故選B。

8：借助立體幾何的兩個熟知的結論：（1）一個正方體可以內接一個正四面體；（2）若正方體的頂點都在一個球面上，則正方體的對角線就是球的直徑�？梢钥焖偎愠銮虻陌霃�，從而求出球的表面積為，故選A。

9：分析選擇支可知，四條曲線中有且只有一條曲線不符合要求，故可考慮找不符合條件的曲線從而篩選，而在四條曲線中②是一個面積最大的橢圓，故可先看②，顯然直線和曲線是相交的，因為直線上的點在橢圓內，對照選項故選D。

10：，從而對任意的，存在唯一的，使得為常數(shù)。充分利用題中給出的常數(shù)10，100。令,當時，，由此得故選A。

二．填空題：11、； 12、； 13、；

14、； 15、；

解析：11：不等式等價于，也就是，所以，從而應填．

12：，不論的值如何，與同號，所以

13：題設條件等價于點（0，1）在圓內或圓上，或等價于點（0，1）到圓的圓心的距離不超過半徑，∴。

14.解：由正弦定理得即，∴所求直線的極坐標方程為.

15.解：即，

三．解答題：

16．解：(Ⅰ)函數(shù) 要有意義需滿足：即，解得， …………………………………3分

函數(shù)要有意義需滿足，即，

解得或 …………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，

，………………………12分

17.解：（I）因為是等比數(shù)列，

又…………………………………………2分

∴是以a為首項，為公比的等比數(shù)列.………………………………6分

（II）（I）中命題的逆命題是：若是等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列，是假命題.

……………………………………………………………8分

設的公比為則

又

是以1為首項，q為公比的等比數(shù)列，

是以為首項，q為公比的等比數(shù)列.……………………10分

即為1，a，q，aq，q²，aq²，…

但當q≠a²時，不是等比數(shù)列

故逆命題是假命題.……………………………………………………………………12分

另解：取a=2，q=1時，

因此是等比數(shù)列，而不是等比數(shù)列.

故逆命題是假命題.……………………………………………………………………12分

18.解：（1）設選對一道“可判斷２個選項是錯誤的”題目為事件A，“可判斷１個選項是錯誤的”該題選對為事件B，“不能理解題意的”該題選對為事件C.則---

所以得４０分的概率………………………………4分

(2) 該考生得20分的概率=……………………5分

該考生得25分的概率：

= ……………………6分

該考生得30分的概率：== --------------7分

該考生得35分的概率：

= ……………………9分

∵　　∴該考生得25分或30分的可能性最大………………………………11分

（3）該考生所得分數(shù)的數(shù)學期望=

………………………………14分

19．解：（Ⅰ）由知圓心C的坐標為--------------（1分）

∵圓C關于直線對稱

∴點在直線上 -----------------（2分）

即D+E=－2，------------①且-----------------②-----------------（3分）

又∵圓心C在第二象限 ∴ -----------------（4分）

由①②解得D=2,E=－4 -----------------（5分）

∴所求圓C的方程為： ------------------（6分）

（Ⅱ）切線在兩坐標軸上的截距相等且不為零，設： -----------（7分）

圓C:

圓心到切線的距離等于半徑，

即

。 ------------------（12分）

所求切線方程 ------------------（14分）

20．（Ⅰ）證明：在正方體中，∵平面∥平面

平面平面，平面平面

∴∥.-------------------------------------3分

（Ⅱ）解：如圖，以D為原點分別以DA、DC、DD₁為

x、y、z軸，建立空間直角坐標系，則有

D₁（0，0，2），E（2，1，2），F(xiàn)（0，2，1），

∴，

設平面的法向量為

則由，和，得，

取，得，，∴ ------------------------------6分

又平面的法向量為（0，0，2）

故；

∴截面與底面所成二面角的余弦值為. ------------------9分

（Ⅲ）解：設所求幾何體的體積為V，

∵～，，，

∴，，

∴，

--------------------------11分

故V_棱臺

∴V=V_正方體-V_棱臺_.------------------14分

21．解：（Ⅰ）由題意，在[]上遞減，則解得

所以，所求的區(qū)間為[-1，1] ………………………4分

（Ⅱ）取則，即不是上的減函數(shù)。

取，

即不是上的增函數(shù)

所以，函數(shù)在定義域內不單調遞增或單調遞減，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)。-------9分

（Ⅲ）若是閉函數(shù)，則存在區(qū)間[]，在區(qū)間[]上，函數(shù)的值域為[]，即，為方程的兩個實數(shù)根，

即方程有兩個不等的實根。

當時，有，解得。

當時，有，無解。

綜上所述，---------------------------------------------14分

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