對于函數(shù)（，D是此函數(shù)的定義域），若同時滿足下列條件：
①在D內(nèi)單調(diào)遞減或單調(diào)遞增；
②存在區(qū)間[a，b]D，使在[a，b]上的值域為[a，b]；
那么把叫閉函數(shù)；
（1）求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（2）判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)？并說明理由；
（3）是閉函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍。
解：（1）易知為[a，b]上的減函數(shù)，
∴，
又a<b，
∴解得：，
∴區(qū)間為[-1，1]。
（2）取，，
則，
故不是（0，+∞）上的減函數(shù)；
再取，則，
故不是（-∞，0）上的增函數(shù)，
∴不是閉函數(shù)。
（3）設(shè)函數(shù)符合條件②的區(qū)間為[a，b]，
則，
∴a，b為方程的兩個實根，
∴命題等價于關(guān)于x的方程
 有兩個不等的實根，
當(dāng)時，，∴；
當(dāng)時，，
∴k∈不合題意，
所以，綜上所述，k的取值范圍是(]。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•虹口區(qū)二模）定義域為D的函數(shù)f（x），如果對于區(qū)間I內(nèi)（I⊆D）的任意兩個數(shù)x1、x2都有f(
x1+x2
2
)≥
1
2
[f(x1)+f(x2)]成立，則稱此函數(shù)在區(qū)間I上是“凸函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=lgx在R+上是否是“凸函數(shù)”，并證明你的結(jié)論；
（2）如果函數(shù)f(x)=x2+
a
x
在
1，2
上是“凸函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于區(qū)間
c，d
上的“凸函數(shù)”f（x），在
c，d
上任取x1，x2，x3，…，xn．
①證明：當(dāng)n=2k（k∈N*）時，f(
x1+x2+…+xn
n
)≥
1
n
[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]成立；
②請再選一個與①不同的且大于1的整數(shù)n，
證明：f(
x1+x2+…+xn
n
)≥
1
n
[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]也成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•虹口區(qū)二模）定義域為D的函數(shù)f（x），如果對于區(qū)間I內(nèi)（I⊆D）的任意兩個數(shù)x1、x2都有f(
x1+x2
2
)≥
1
2
[f(x1)+f(x2)]成立，則稱此函數(shù)在區(qū)間I上是“凸函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=-x2在R上是否是“凸函數(shù)”，并證明你的結(jié)論；
（2）如果函數(shù)f(x)=x2+
a
x
在區(qū)間[1，2]上是“凸函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于區(qū)間[c，d]上的“凸函數(shù)”f（x），在[c，d]上的任取x1，x2，x3，…，x2n，證明：f(
x1+x2+…+x2n
2n
)≥
1
2n
[f(x1)+f(x2)+…+f(x2n)]．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2004全國各省市高考模擬試題匯編(天利38套)·數(shù)學(xué) 題型：044

對于函數(shù)y＝f(x)(x∈D，D是此函數(shù)的定義域)若同時滿足下列條件：

(Ⅰ)f(x)在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；

(Ⅱ)存在區(qū)間[a，b]D，使f(x)在[a，b]上的值域為[a，b]；那么，把y＝f(x)(x∈D)叫閉函數(shù)．

(1)求閉函數(shù)y＝－x3符合條件(Ⅱ)的區(qū)間[a，b]；

(2)判斷函數(shù)f(x)＝x＋(x∈R+)是否為閉函數(shù)？并說明理由；

(3)若y＝k＋是閉函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：同步題 題型：單選題

若冪函數(shù)y=xn對于給定的有理數(shù)n，其定義域和值域相同，則此冪函數(shù)
[     ]
A．一定是奇函數(shù)
B．一定是偶函數(shù)
C．一定不是奇函數(shù)
D．一定不是偶函數(shù)

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