19. 如圖.α⊥β.α∩β=l . A∈α. B∈β.點A在直線l 上的射影為A1. 點B在l的射影為B1.已知AB=2.AA1=1. BB1=. 求: (Ⅰ) 直線AB分別與平面α.β所成角的大小; (Ⅱ)二面角A1-AB-B1的大。 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分12分)

如圖,已知直線l與拋物線相切于點P(2,1),且與x軸交于點A,O為坐標(biāo)原點,定點B的坐標(biāo)為(2,0).

(I) 若動點M滿足,求點M的軌跡C;

(II)若過點B的直線l′(斜率不等于零)與(I)中的軌跡C交于不同的兩點EFEB、F之間),試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.

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(本小題滿分12分)

為了加快經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,某市選擇A、B兩區(qū)作為龍頭帶動周邊地區(qū)的發(fā)展,決定在A、B兩區(qū)的周邊修建城際快速通道,假設(shè)A、B兩區(qū)相距個單位距離,城際快速通道所在的曲線為E,使快速通道E上的點到兩區(qū)的距離之和為4個單位距離.

   (Ⅰ)以線段AB的中點O為原點建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,求城際快速通道所在曲線E的方程;

   (Ⅱ)若有一條斜率為的筆直公路l與曲線E交于P,Q兩點,同時在曲線E上建一個加油站M(橫坐標(biāo)為負(fù)值)滿足,面積的最大值.                                

 

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(本小題滿分12分)
為了加快經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,某市選擇AB兩區(qū)作為龍頭帶動周邊地區(qū)的發(fā)展,決定在AB兩區(qū)的周邊修建城際快速通道,假設(shè)A、B兩區(qū)相距個單位距離,城際快速通道所在的曲線為E,使快速通道E上的點到兩區(qū)的距離之和為4個單位距離.

(Ⅰ)以線段AB的中點O為原點建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,求城際快速通道所在曲線E的方程;
(Ⅱ)若有一條斜率為的筆直公路l與曲線E交于P,Q兩點,同時在曲線E上建一個加油站M(橫坐標(biāo)為負(fù)值)滿足,面積的最大值.                               

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文(本小題滿分12分)已知點A(-1,0),B(1,-1)和拋物線.,O為坐標(biāo)原點,過點A的動直線l交拋物線CM、P,直線MB交拋物線C于另一點Q,如圖.

   (I)若△POM的面積為,求向量的夾角。

   (II)試證明直線PQ恒過一個定點。

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本小題滿分12分)
如圖,已知橢圓C1的中心在原點O,長軸左、右端點M,N在x軸上,橢圓C2的短軸為MN,且C1,C2的離心率都為e,直線l⊥MN,l與C1交于兩點,與C2交于兩點,這四點按縱坐標(biāo)從大到小依次為A,B,C,D.

(I)設(shè),求的比值;
(II)當(dāng)e變化時,是否存在直線l,使得BO∥AN,并說明理由

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

B

C

C

B

A

B

D

A

D

D

C

1.已知集合P={x∈N|1≤x≤10}={1,2,3,……,10},集合Q={x∈R | x2+x-6=0} =, 所以P∩Q等于{2} ,選A.

2.函數(shù)f(x)= (x∈R),∴ ,所以原函數(shù)的值域是(0,1] ,選B.

3. 已知等差數(shù)列{an}中,a2+a8=8,∴ ,則該數(shù)列前9項和S9==36,選C.

4.函數(shù)f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的圖象過點(0,0),其反函數(shù)的圖象過點(1,2),

,∴,a=3,則a+b等于4,選C.

5.直線過點(0,a),其斜率為1, 且與圓x2+y2=2相切,設(shè)直線方程為,圓心(0,0)道直線的距離等于半徑,∴ ,∴ a 的值±2,選B.

6.若等式sin(α+γ)=sin2β成立,則α+γ=kπ+(-1)k?2β,此時α、β、γ不一定成等差數(shù)列,若α、β、γ成等差數(shù)列,則2β=α+γ,等式sin(α+γ)=sin2β成立,所以“等式sin(α+γ)=sin2β成立”是“α、β、γ成等差數(shù)列”的.必要而不充分條件。選A.

7.x,y為正數(shù),(x+y)()≥≥9,選B.

8.已知非零向量與滿足()?=0,即角A的平分線垂直于BC,∴ AB=AC,又= ,∠A=,所以△ABC為等邊三角形,選D.

9.已知函數(shù)f(x)=ax2+2ax+4(a>0),二次函數(shù)的圖象開口向上,對稱軸為,a>0,∴ x1+x2=0,x1與x2的中點為0,x1<x2,∴ x2到對稱軸的距離大于x1到對稱軸的距離,∴ f(x1)<f(x2) ,選A.

10.已知雙曲線(a>)的兩條漸近線的夾角為,則,∴ a2=6,雙曲線的離心率為 ,選D.

11.已知平面α外不共線的三點A、B、C到α的距離都相等,則可能三點在α的同側(cè),即.平面ABC平行于α,這時三條中位線都平行于平面α;也可能一個點A在平面一側(cè),另兩點B、C在平面另一側(cè),則存在一條中位線DE//BC,DE在α內(nèi),所以選D.

12.為確保信息安全,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密規(guī)則為:明文a,b,c,d對應(yīng)密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4對應(yīng)密文5,7,18,16。當(dāng)接收方收到密文14,9,23,28時,

,解得,解密得到的明文為C.

二、填空題

13.-   14.60   15.1320     16.3R

13.cos43°cos77°+sin43°cos167°==-

14.(2x-)6展開式中常數(shù)項.

15.某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1人),其中甲和乙不同去,可以分情況討論,① 甲去,則乙不去,有=480種選法;②甲不去,乙去,有=480種選法;③甲、乙都不去,有=360種選法;共有1320種不同的選派方案.

16.水平桌面α上放有4個半徑均為2R的球,且相鄰的球都相切(球心的連線構(gòu)成正方形).在這4個球的上面放1個半徑為R的小球,它和下面4個球恰好都相切,5個球心組成一個正四棱錐,這個正四棱錐的底面邊長為4R,側(cè)棱長為3R,求得它的高為R,所以小球的球心到水平桌面α的距離是3R.

三、解答題

17.解: (Ⅰ)記"甲投進(jìn)"為事件A1 , "乙投進(jìn)"為事件A2 , "丙投進(jìn)"為事件A3

則 P(A1)= , P(A2)= , P(A3)= ,

∴ P(A1A2A3)=P(A1) ?P(A2) ?P(A3) = × ×=

 ∴3人都投進(jìn)的概率為

(Ⅱ) 設(shè)“3人中恰有2人投進(jìn)"為事件B

P(B)=P(A2A3)+P(A1A3)+P(A1A2)

   =P()?P(A2)?P(A3)+P(A1)?P()?P(A3)+P(A1)?P(A2)?P()

   =(1-)× × + ×(1-)× + × ×(1-) =

 ∴3人中恰有2人投進(jìn)的概率為

18.解:(Ⅰ) f(x)=sin(2x-)+1-cos2(x-)

          = 2[sin2(x-)- cos2(x-)]+1

         =2sin[2(x-)-]+1

         = 2sin(2x-) +1 

∴ T==π

  (Ⅱ)當(dāng)f(x)取最大值時, sin(2x-)=1,有  2x- =2kπ+

即x=kπ+    (k∈Z)  ∴所求x的集合為{x∈R|x= kπ+ ,  (k∈Z)}.

 

19.解法一: (Ⅰ)如圖, 連接A1B,AB1, ∵α⊥β, α∩β=l ,AA1⊥l, BB1⊥l,

∴AA1⊥β, BB1⊥α. 則∠BAB1,∠ABA1分別是AB與α和β所成的角.

Rt△BB1A中, BB1= , AB=2, ∴sin∠BAB1 = = . ∴∠BAB1=45°.

Rt△AA1B中, AA1=1,AB=2, sin∠ABA1= = , ∴∠ABA1= 30°.

故AB與平面α,β所成的角分別是45°,30°.

(Ⅱ) ∵BB1⊥α, ∴平面ABB1⊥α.在平面α內(nèi)過A1作A1E⊥AB1交AB1于E,則A1E⊥平面AB1B.過E作EF⊥AB交AB于F,連接A1F,則由三垂線定理得A1F⊥AB, ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.

在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°,∴AB1=B1B=. ∴Rt△AA1B中,A1B== = . 由AA1?A1B=A1F?AB得 A1F== = ,

∴在Rt△A1EF中,sin∠A1FE = = , ∴二面角A1-AB-B1的大小為arcsin.

解法二: (Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ) 如圖,建立坐標(biāo)系, 則A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(,1,0).在AB上取一點F(x,y,z),則存在t∈R,使得=t , 即(x,y,z-1)=t(,1,-1), ∴點F的坐標(biāo)為(t, t,1-t).要使⊥,須?=0, 即(t, t,1-t) ?(,1,-1)=0, 2t+t-(1-t)=0,解得t= , ∴點F的坐標(biāo)為(,-, ), ∴=(,, ). 設(shè)E為AB1的中點,則點E的坐標(biāo)為(0,, ). ∴=(,-,).

又?=(,-,)?(,1,-1)= - - =0, ∴⊥, ∴∠A1FE為所求二面角的平面角.

又cos∠A1FE= = = = = ,

∴二面角A1-AB-B1的大小為arccos.

20.解: ∵10Sn=an2+5an+6, ①   ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.

又10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),②

 由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 

∵an+an-1>0  , ∴an-an-1=5 (n≥2).

當(dāng)a1=3時,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比數(shù)列∴a1≠3;

當(dāng)a1=2時,a3=12, a15=72, 有a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3.

21.解法一: 如圖, (Ⅰ)設(shè)D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由=t,  = t ,

知(xD-2,yD-1)=t(-2,-2).   ∴  同理 .

 ∴kDE =  = = 1-2t.  ∴t∈[0,1] , ∴kDE∈[-1,1].

(Ⅱ) ∵=t  ∴(x+2t-2,y+2t-1)=t(-2t+2t-2,2t-1+2t-1)=t(-2,4t-2)=(-2t,4t2-2t). ∴     , ∴y= , 即x2=4y.  ∵t∈[0,1], x=2(1-2t)∈[-2,2].

即所求軌跡方程為: x2=4y, x∈[-2,2]

解法二: (Ⅰ)同上.

(Ⅱ) 如圖, =+ = +  t = + t(-) = (1-t) +t,

 = + = +t = +t(-) =(1-t) +t,

 = += + t= +t(-)=(1-t) + t

     = (1-t2)  + 2(1-t)t+t2

設(shè)M點的坐標(biāo)為(x,y),由=(2,1), =(0,-1), =(-2,1)得

  消去t得x2=4y, ∵t∈[0,1], x∈[-2,2].

故所求軌跡方程為: x2=4y, x∈[-2,2]

22.解: (I)當(dāng)k=0時, f(x)=-3x2+1  ∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,0],單調(diào)減區(qū)間[0,+∞).

當(dāng)k>0時 , f '(x)=3kx2-6x=3kx(x-)

∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,0] , [ , +∞), 單調(diào)減區(qū)間為[0, ].

(II)當(dāng)k=0時, 函數(shù)f(x)不存在最小值.

 當(dāng)k>0時, 依題意 f()= - +1>0 ,

即k2>4 , 由條件k>0, 所以k的取值范圍為(2,+∞)

 

 


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