Question

（本小題滿(mǎn)分12分）

為了加快經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，某市選擇A、B兩區(qū)作為龍頭帶動(dòng)周邊地區(qū)的發(fā)展，決定在A、B兩區(qū)的周邊修建城際快速通道，假設(shè)A、B兩區(qū)相距個(gè)單位距離，城際快速通道所在的曲線(xiàn)為E，使快速通道E上的點(diǎn)到兩區(qū)的距離之和為4個(gè)單位距離.

   （Ⅰ）以線(xiàn)段AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求城際快速通道所在曲線(xiàn)E的方程；

   （Ⅱ）若有一條斜率為的筆直公路l與曲線(xiàn)E交于P，Q兩點(diǎn)，同時(shí)在曲線(xiàn)E上建一個(gè)加油站M（橫坐標(biāo)為負(fù)值）滿(mǎn)足,求面積的最大值．                                

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） ；（Ⅱ）面積的最大值為.

【解析】本試題主要是考查了圓錐曲線(xiàn)的 定義法求解軌跡方程，然后結(jié)合直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到線(xiàn)的距離和三角形的面積公式得到求解。

（1）因?yàn)樵O(shè)點(diǎn)T為曲線(xiàn)E上的任意一點(diǎn)，則|TA|+|TB|=4，|AB|=2，結(jié)合橢圓的定義得到曲線(xiàn)方程。

（2）設(shè)出直線(xiàn)PQ的方程與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于x的一元二次方程，然后結(jié)合韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式表示出三角形的面積得到結(jié)論。

解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)為曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，則

所以曲線(xiàn)的軌跡為橢圓，，所以橢圓方程為  ………4分

（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為,設(shè)

代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得,             

由,可得 .    ()      …………………5分

由,

故.                 ………………………………7分         

又，且的橫坐標(biāo)又為負(fù)值，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為  

所以點(diǎn)到的距離為,                        ……………………………9分

故,

當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)(滿(mǎn)足式)

所以面積的最大值為.                   …………………………………12分