題目列表(包括答案和解析)

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22.(本小題滿分14分)

如圖,設拋物線的焦點為F,動點P在直線上運動,過P作拋物線C的兩條切線PA、PB,且與拋物線C分別相切于A、B兩點.

(1)求△APB的重心G的軌跡方程.

(2)證明∠PFA=∠PFB.

[思路點撥]本題涉及解析幾何中直線與拋物線的若干知識.

[正確解答](1)設切點A、B坐標分別為,

∴切線AP的方程為:

  切線BP的方程為:

解得P點的坐標為:

所以△APB的重心G的坐標為 ,

所以,由點P在直線l上運動,從而得到重心G的軌跡方程為:

  (2)方法1:因為

由于P點在拋物線外,則

同理有

∴∠AFP=∠PFB.

方法2:①當所以P點坐標為,則P點到直線AF的距離為:

所以P點到直線BF的距離為:

所以d1=d2,即得∠AFP=∠PFB.

②當時,直線AF的方程:

直線BF的方程:

所以P點到直線AF的距離為:

,同理可得到P點到直線BF的距離,因此由d1=d2,可得到∠AFP=∠PFB.

[解后反思]解析幾何主要的是點和曲線的位置關系、對稱性,標準方程當中系數(shù)對位置的影響.圓錐曲線的定義和幾何性質,解析幾何的解答題往往是高檔題,常常涉及的內容是求軌跡方程、直線和圓錐曲線的位置關系、對稱、最值、范圍.做這類題目一定要認真細心,提高自己的運算能力和思維能力.

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21.(本小題滿分12分)

已知數(shù)列

(1)證明

(2)求數(shù)列的通項公式an.

[思路點撥]本題考查數(shù)列的基礎知識,考查運算能力和推理能力.第(1)問是證明遞推關系,聯(lián)想到用數(shù)學歸納法,第(2)問是計算題,也必須通過遞推關系進行分析求解.

[正確解答](1)方法一 用數(shù)學歸納法證明:

1°當n=1時,

  ∴,命題正確.

2°假設n=k時有

  則

 

時命題正確.

由1°、2°知,對一切n∈N時有

方法二:用數(shù)學歸納法證明:

   1°當n=1時,

   2°假設n=k時有成立,

    令,在[0,2]上單調遞增,所以由假設

有:

也即當n=k+1時  成立,所以對一切

  (2)下面來求數(shù)列的通項:所以

,

又bn=-1,所以.

[解后反思]數(shù)列是高考考綱中明文規(guī)定必考內容之一,考綱規(guī)定學生必須理解數(shù)列的概念,了解數(shù)列通項公式的意義,了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法,并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項.當然數(shù)列與不等式的給合往往得高考數(shù)學的熱點之一,也成為諸多省份的最后壓軸大題,解決此類問題,必須有過硬的數(shù)學基礎知識與過人的數(shù)學技巧,同時運用數(shù)學歸納法也是比較好的選擇,不過在使用數(shù)學歸納法的過程中,一定要遵循數(shù)學歸納法的步驟.

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20.(本小題滿分12分)

如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1,中,AD=AA1=1,AB=2,點E在棱AB上移動.

  (1)證明:D1E⊥A1D;

  (2)當E為AB的中點時,求點E到面ACD1的距離;

  (3)AE等于何值時,二面角D1-EC-D的大小為.

[思路點撥]本題涉及立體幾何線面關系的有關知識,

[正確解答]解法(一)

(1)證明:∵AE⊥平面AA1DD1,A1D⊥AD1,∴A1D⊥D1E

(2)設點E到面ACD1的距離為h,在△ACD1中,AC=CD1=,AD1=

(3)過D作DH⊥CE于H,連D1H、DE,則D1H⊥CE,

  ∴∠DHD1為二面角D1-EC-D的平面角.

設AE=x,則BE=2-x

解法(二):以D為坐標原點,直線DA,DC,DD1分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,設AE=x,則A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0)C(0,2,0)

(1)

(2)因為E為AB的中點,則E(1,1,0),從而,

,設平面ACD1的法向量為,則

也即,得,從而,所以點E到平面AD1C的距離為

(3)設平面D1EC的法向量

,∴

  令b=1, ∴c=2,a=2-x

依題意

(不合,舍去), .

∴AE=時,二面角D1-EC-D的大小為.

[解后反思]立體幾何的內容就是空間的判斷、推理、證明、角度和距離、面積與體積的計算,這是立體幾何的重點內容,本題實質上求解角度和距離,在求此類問題中,盡量要將這些量處于三角形中,最好是直角三角形,這樣計算起來,比較簡單,此外用向量也是一種比較好的方法,不過建系一定要恰當,這樣坐標才比較好寫出來.

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19.(本小題滿分12分)

A、B兩位同學各有五張卡片,現(xiàn)以投擲均勻硬幣的形式進行游戲,當出現(xiàn)正面朝上時A贏得B一張卡片,否則B贏得A一張卡片.規(guī)定擲硬幣的次數(shù)達9次時,或在此前某人已贏得所有卡片時游戲終止.設表示游戲終止時擲硬幣的次數(shù).

(1)求的取值范圍;

(2)求的數(shù)學期望E.

[思路點撥]本題考查涉及概率等若干知識,理解的含義是解決本題的關鍵.

[正確解答](1)設正面出現(xiàn)的次數(shù)為m,反面出現(xiàn)的次數(shù)為n,則,

可得:

(2)

[解后反思]要想做對此類問題,要具備兩個條件,首先要理解題目所涉及的知識,本題有一定的抽象性,如果你不理解題目,你就無從下手,第二要記牢這一類題目的做題步驟,做此類型題目,有時候步驟很重要的,嚴格按照書中例題的步驟完成是得到正確答案的保證.

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18.(本小題滿分12分)

已知向量.

是否存在實數(shù)若存在,則求出x的值;若不存在,則證明之.

[思路點撥]本題主要考查向量與三角,導數(shù)的綜合題,正確化簡f(x)是解該題的關健.

[正確解答]

    

[解后反思]本題是一道簡單三角函數(shù)題,不過我們仍然在本題的解決過程中,發(fā)現(xiàn)這樣一個問題,化簡在解決數(shù)學過程中的重要地位,本題只要化簡到位,那么在解決的過程會大大縮短,一切都變的簡單起來,所以在解三角函數(shù)問題或其他的數(shù)學問題,能化簡的,要盡量先化簡.

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17.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)(a,b為常數(shù))且方程f(x)-x+12=0有兩個實根為x1=3, x2=4.

  (1)求函數(shù)f(x)的解析式;

  (2)設k>1,解關于x的不等式;

[思路點撥]本題主要考查求函數(shù)的解析式及含參分式不等式的解法.

[正確解答](1)將

(2)不等式即為

①當

②當

.

[解后反思]解不等式的過程實質上就是轉化的過程,分式不等式轉化成整式不等式,解分式不等式一般情況下是移項,通分,然后轉化成整式不等式,對于高次不等式,借助數(shù)軸法,則簡單,快捷,另外,

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16.以下同個關于圓錐曲線的命題中

    ①設A、B為兩個定點,k為非零常數(shù),,則動點P的軌跡為雙曲線;

    ②設定圓C上一定點A作圓的動點弦AB,O為坐標原點,若則動點P的軌跡為橢圓;

    ③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;

    ④雙曲線有相同的焦點.

    其中真命題的序號為         (寫出所有真命題的序號)

[思路點撥]本題主要考查圓錐曲線的定義和性質主要由a,b,c,e的關系求得

[正確解答]雙曲線的第一定義是:平面上的動點P到兩定點是A,B之間的距離的差的絕對值為常數(shù)2a,且,那么P點的軌跡為雙曲線,故①錯,

,得P為弦AB的中點,故②錯,

的兩根為可知兩根互與為倒數(shù),且均為正,故③對,

的焦點坐標(),而的焦點坐標(),故④正確.

[解后反思]要牢牢掌握橢圓,雙曲線的第一定義,同時還要掌握圓錐曲線的統(tǒng)一定義,弄清圓錐曲線中a,b,c,e的相互關系.

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15.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,

AB=BC=,BB1=2,,

E、F分別為AA1、C1B1的中點,沿棱柱的表面從E

到F兩點的最短路徑的長度為        .

[思路點撥]本題主要考查空間距離轉化為平面距離.

[正確解答]分別延將E、F展開到同一平面內,則易得:,,或

比較可得,最小值為.

[解后反思]將平面圖形空間化也是立體幾何的另一種問題形式,在做立體幾何中,許多問題都是空間圖形進行平面化,努力將一個個空間圖形,通過所學的幾何知識,轉化成平面圖形,最后使用平面幾何的若干知識解決,而本題卻反其道而行之,所以在做法上就不能和上述的方法相同,但在本質上有許多相通之處,在這類題目中,盡量找出兩者圖形過程中的聯(lián)系之處,哪些量變啦,哪些量沒有變,然后解決起來,就會順手多啦.

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14.設實數(shù)x, y滿足         .

[思路點撥]本題主要考查線性規(guī)劃問題,由線性約束條件畫出可行域,然后求出目標函數(shù)的最值.

[正確解答]表示兩點(0,0),A(x,y)的斜率

[解后反思]解題的關鍵是理解目標函數(shù)的幾何意義,類似的你知道的幾何意義嗎?

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13.若函數(shù)是奇函數(shù),則a=         .

[思路點撥]本題主要考查函數(shù)的奇偶性,由函數(shù)的奇偶性的定義可求得.

[正確解答]

解法1:由題意可知,,即,

因此.

解法2:函數(shù)的定義域為R,又f(x)為奇函數(shù),故其圖象必過原點即f(0)=0,所以,得推出答案

[解后反思]對數(shù)學概念及定理公式的深刻理解是解數(shù)學問題的關健,討論函數(shù)的奇偶性,其前提條件是函數(shù)的定義域必須關于原點對稱.

若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)的圖象關于原點對稱.

若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱.

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