四川師大附中高2006屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)(十四)實驗修訂版
§14. 復(fù) 數(shù) 知識要點
1. ⑴復(fù)數(shù)的單位為i,它的平方等于-1,即.
⑵復(fù)數(shù)及其相關(guān)概念:
① 復(fù)數(shù)―形如a + bi的數(shù)(其中);
② 實數(shù)―當(dāng)b = 0時的復(fù)數(shù)a + bi,即a;
③ 虛數(shù)―當(dāng)時的復(fù)數(shù)a + bi;
④ 純虛數(shù)―當(dāng)a = 0且時的復(fù)數(shù)a + bi,即bi.
⑤ 復(fù)數(shù)a + bi的實部與虛部―a叫做復(fù)數(shù)的實部,b叫做虛部(注意a,b都是實數(shù))
⑥ 復(fù)數(shù)集C―全體復(fù)數(shù)的集合,一般用字母C表示.
⑶兩個復(fù)數(shù)相等的定義:
.
⑷兩個復(fù)數(shù),如果不全是實數(shù),就不能比較大小.
注:①若為復(fù)數(shù),則
若
,則
.(×)[
為復(fù)數(shù),而不是實數(shù)]
若
,則
.(√)
②若,則
是
的必要不充分條件.(當(dāng)
,
時,上式成立)
2. ⑴復(fù)平面內(nèi)的兩點間距離公式:.
其中是復(fù)平面內(nèi)的兩點
所對應(yīng)的復(fù)數(shù),
間的距離.
由上可得:復(fù)平面內(nèi)以為圓心,
為半徑的圓的復(fù)數(shù)方程:
.
⑵曲線方程的復(fù)數(shù)形式:
①為圓心,r為半徑的圓的方程.
②表示線段
的垂直平分線的方程.
③為焦點,長半軸長為a的橢圓的方程(若
,此方程表示線段
).
④表示以
為焦點,實半軸長為a的雙曲線方程(若
,此方程表示兩條射線).
⑶絕對值不等式:
設(shè)是不等于零的復(fù)數(shù),則
①.
左邊取等號的條件是,右邊取等號的條件是
.
②.
左邊取等號的條件是,右邊取等號的條件是
.
注:.
3. 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):
,
(
a + bi)
(
)
注:兩個共軛復(fù)數(shù)之差是純虛數(shù). (×)[之差可能為零,此時兩個復(fù)數(shù)是相等的]
4. ⑴①復(fù)數(shù)的乘方:
②對任何,
及
有
③
注:①以上結(jié)論不能拓展到分數(shù)指數(shù)冪的形式,否則會得到荒謬的結(jié)果,如若由
就會得到
的錯誤結(jié)論.
②在實數(shù)集成立的. 當(dāng)
為虛數(shù)時,
,所以復(fù)數(shù)集內(nèi)解方程不能采用兩邊平方法.
⑵常用的結(jié)論:
若
是1的立方虛數(shù)根,即
,則
.
5. ⑴復(fù)數(shù)是實數(shù)及純虛數(shù)的充要條件:
①.
②若,
是純虛數(shù)
.
⑵模相等且方向相同的向量,不管它的起點在哪里,都認為是相等的,而相等的向量表示同一復(fù)數(shù). 特例:零向量的方向是任意的,其模為零.
注:.
6. ⑴復(fù)數(shù)的三角形式:.
輻角主值:適合于0≤
<
的值,記作
.
注:①為零時,
可取
內(nèi)任意值.
②輻角是多值的,都相差2的整數(shù)倍.
③設(shè)則
.
⑵復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化:
,
,
.
⑶幾類三角式的標(biāo)準(zhǔn)形式:
7. 復(fù)數(shù)集中解一元二次方程:
在復(fù)數(shù)集內(nèi)解關(guān)于的一元二次方程
時,應(yīng)注意下述問題:
①當(dāng)時,若
>0,則有二不等實數(shù)根
;若
=0,則有二相等實數(shù)根
;若
<0,則有二相等復(fù)數(shù)根
(
為共軛復(fù)數(shù)).
②當(dāng)不全為實數(shù)時,不能用
方程根的情況.
③不論為何復(fù)數(shù),都可用求根公式求根,并且韋達定理也成立.
8. 復(fù)數(shù)的三角形式運算:
棣莫弗定理:.
四川師大附中高2006屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)(十三)實驗修訂版
§13. 導(dǎo) 數(shù) 知識要點
1. 導(dǎo)數(shù)(導(dǎo)函數(shù)的簡稱)的定義:設(shè)是函數(shù)
定義域的一點,如果自變量
在
處有增量
,則函數(shù)值
也引起相應(yīng)的增量
;比值
稱為函數(shù)
在點
到
之間的平均變化率;如果極限
存在,則稱函數(shù)
在點
處可導(dǎo),并把這個極限叫做
在
處的導(dǎo)數(shù),記作
或
,即
=
.
注:①是增量,我們也稱為“改變量”,因為
可正,可負,但不為零.
②以知函數(shù)定義域為
,
的定義域為
,則
與
關(guān)系為
.
2. 函數(shù)在點
處連續(xù)與點
處可導(dǎo)的關(guān)系:
⑴函數(shù)在點
處連續(xù)是
在點
處可導(dǎo)的必要不充分條件.
可以證明,如果在點
處可導(dǎo),那么
點
處連續(xù).
事實上,令,則
相當(dāng)于
.
于是
⑵如果
點
處連續(xù),那么
在點
處可導(dǎo),是不成立的.
例:在點
處連續(xù),但在點
處不可導(dǎo),因為
,當(dāng)
>0時,
;當(dāng)
<0時,
,故
不存在.
注:①可導(dǎo)的奇函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).
②可導(dǎo)的偶函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).
3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義:
函數(shù)在點
處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線
在點
處的切線的斜率,也就是說,曲線
在點P
處的切線的斜率是
,切線方程為
4. 求導(dǎo)數(shù)的四則運算法則:
(
為常數(shù))
注:①必須是可導(dǎo)函數(shù).
②若兩個函數(shù)可導(dǎo),則它們和、差、積、商必可導(dǎo);若兩個函數(shù)均不可導(dǎo),則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo).
例如:設(shè),
,則
在
處均不可導(dǎo),但它們和
在
處均可導(dǎo).
5. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:或
復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到多個中間變量的情形.
6. 函數(shù)單調(diào)性:
⑴函數(shù)單調(diào)性的判定方法:設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),如果
>0,則
為增函數(shù);如果
<0,則
為減函數(shù).
⑵常數(shù)的判定方法;
如果函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)恒有
=0,則
為常數(shù).
注:①是f(x)遞增的充分條件,但不是必要條件,如
在
上并不是都有
,有一個點例外即x=0時f(x) = 0,同樣
是f(x)遞減的充分非必要條件.
②一般地,如果f(x)在某區(qū)間內(nèi)有限個點處為零,在其余各點均為正(或負),那么f(x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加(或單調(diào)減少)的.
7. 極值的判別方法:(極值是在附近所有的點,都有
<
,則
是函數(shù)
的極大值,極小值同理)
當(dāng)函數(shù)在點
處連續(xù)時,
①如果在附近的左側(cè)
>0,右側(cè)
<0,那么
是極大值;
②如果在附近的左側(cè)
<0,右側(cè)
>0,那么
是極小值.
也就是說是極值點的充分條件是
點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號,而不是
=0①. 此外,函數(shù)不可導(dǎo)的點也可能是函數(shù)的極值點②. 當(dāng)然,極值是一個局部概念,極值點的大小關(guān)系是不確定的,即有可能極大值比極小值�。ê瘮�(shù)在某一點附近的點不同).
注①:
若點是可導(dǎo)函數(shù)
的極值點,則
=0. 但反過來不一定成立. 對于可導(dǎo)函數(shù),其一點
是極值點的必要條件是若函數(shù)在該點可導(dǎo),則導(dǎo)數(shù)值為零.
例如:函數(shù),
使
=0,但
不是極值點.
②例如:函數(shù),在點
處不可導(dǎo),但點
是函數(shù)的極小值點.
8. 極值與最值的區(qū)別:極值是在局部對函數(shù)值進行比較,最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進行比較.
注:函數(shù)的極值點一定有意義.
9. 幾種常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù):
I.(
為常數(shù))
(
)
II.
III. 求導(dǎo)的常見方法:
①常用結(jié)論:.
②形如或
兩邊同取自然對數(shù),可轉(zhuǎn)化求代數(shù)和形式.
③無理函數(shù)或形如這類函數(shù),如
取自然對數(shù)之后可變形為
,對兩邊求導(dǎo)可得
.
四川師大附中高2006屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)(十二)
§12. 極 限 知識要點
1. ⑴第一數(shù)學(xué)歸納法:①證明當(dāng)取第一個
時結(jié)論正確;②假設(shè)當(dāng)
(
)時,結(jié)論正確,證明當(dāng)
時,結(jié)論成立.
⑵第二數(shù)學(xué)歸納法:設(shè)是一個與正整數(shù)
有關(guān)的命題,如果
①當(dāng)(
)時,
成立;
②假設(shè)當(dāng)(
)時,
成立,推得
時,
也成立.
那么,根據(jù)①②對一切自然數(shù)時,
都成立.
2. ⑴數(shù)列極限的表示方法:
①
②當(dāng)時,
.
⑵幾個常用極限:
①(
為常數(shù))
②
③對于任意實常數(shù),
當(dāng)時,
當(dāng)時,若a = 1,則
;若
,則
不存在
當(dāng)時,
不存在
⑶數(shù)列極限的四則運算法則:
如果,那么
①
②
③
特別地,如果C是常數(shù),那么
.
⑷數(shù)列極限的應(yīng)用:
求無窮數(shù)列的各項和,特別地,當(dāng)時,無窮等比數(shù)列的各項和為
.
(化循環(huán)小數(shù)為分數(shù)方法同上式)
注:并不是每一個無窮數(shù)列都有極限.
3. 函數(shù)極限;
⑴當(dāng)自變量無限趨近于常數(shù)
(但不等于
)時,如果函數(shù)
無限趨進于一個常數(shù)
,就是說當(dāng)
趨近于
時,函數(shù)
的極限為
.記作
或當(dāng)
時,
.
注:當(dāng)時,
是否存在極限與
在
處是否定義無關(guān),因為
并不要求
.(當(dāng)然,
在
是否有定義也與
在
處是否存在極限無關(guān).
函數(shù)
在
有定義是
存在的既不充分又不必要條件.)
如在
處無定義,但
存在,因為在
處左右極限均等于零.
⑵函數(shù)極限的四則運算法則:
如果,那么
①
②
③
特別地,如果C是常數(shù),那么
.
(
)
注:①各個函數(shù)的極限都應(yīng)存在.
②四則運算法則可推廣到任意有限個極限的情況,但不能推廣到無限個情況.
⑶幾個常用極限:
①
②(0<
<1);
(
>1)
③
④,
(
)
4. 函數(shù)的連續(xù)性:
⑴如果函數(shù)f(x),g(x)在某一點連續(xù),那么函數(shù)
在點
處都連續(xù).
⑵函數(shù)f(x)在點處連續(xù)必須滿足三個條件:
①函數(shù)f(x)在點處有定義;②
存在;③函數(shù)f(x)在點
處的極限值等于該點的函數(shù)值,即
.
⑶函數(shù)f(x)在點處不連續(xù)(間斷)的判定:
如果函數(shù)f(x)在點處有下列三種情況之一時,則稱
為函數(shù)f(x)的不連續(xù)點.
①f(x)在點處沒有定義,即
不存在;②
不存在;③
存在,但
.
5. 零點定理,介值定理,夾逼定理:
⑴零點定理:設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間
上連續(xù),且
.那么在開區(qū)間
內(nèi)至少有函數(shù)
的一個零點,即至少有一點
(
<
<
)使
.
⑵介值定理:設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間
上連續(xù),且在這區(qū)間的端點取不同函數(shù)值,
,那么對于
之間任意的一個數(shù)
,在開區(qū)間
內(nèi)至少有一點
,使得
(
<
<
).
⑶夾逼定理:設(shè)當(dāng)時,有
≤
≤
,且
,則必有
注::表示以
為的極限,則
就無限趨近于零.(
為最小整數(shù))
6. 幾個常用極限:
①
②
③為常數(shù))
④
⑤為常數(shù))
高考復(fù)習(xí)科目:數(shù)學(xué) 高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)(十一)
復(fù)習(xí)內(nèi)容:高中數(shù)學(xué)第十一章-概率 第十二章-概率與統(tǒng)計
復(fù)習(xí)范圍:第十一章、第十二章
編寫時間:2005-5
修訂時間:總計第三次 2005-6
一、概率.
1. 概率:隨機事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值,反之,頻率是概率的近似值.
2. 等可能事件的概率:如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有年n個,且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等,那么,每一個基本事件的概率都是,如果某個事件A包含的結(jié)果有m個,那么事件A的概率
.
3. ①互斥事件:不可能同時發(fā)生的兩個事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥,那么事件A+B發(fā)生(即A、B中有一個發(fā)生)的概率,等于事件A、B分別發(fā)生的概率和,即P(A+B)=P(A)+P(B),推廣:.
②對立事件:兩個事件必有一個發(fā)生的互斥事件叫對立事件. 例如:從1~52張撲克牌中任取一張抽到“紅桃”與抽到“黑桃”互為互斥事件,因為其中一個不可能同時發(fā)生,但又不能保證其中一個必然發(fā)生,故不是對立事件.而抽到“紅色牌”與抽到黑色牌“互為對立事件,因為其中一個必發(fā)生.
注意:i.對立事件的概率和等于1:.
ii.互為對立的兩個事件一定互斥,但互斥不一定是對立事件.
③相互獨立事件:事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響.這樣的兩個事件叫做相互獨立事件. 如果兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率,等于每個事件發(fā)生的概率的積,即P(A?B)=P(A)?P(B). 由此,當(dāng)兩個事件同時發(fā)生的概率P(AB)等于這兩個事件發(fā)生概率之和,這時我們也可稱這兩個事件為獨立事件.例如:從一副撲克牌(52張)中任抽一張設(shè)A:“抽到老K”;B:“抽到紅牌”則 A應(yīng)與B互為獨立事件[看上去A與B有關(guān)系很有可能不是獨立事件,但.又事件AB表示“既抽到老K對抽到紅牌”即“抽到紅桃老K或方塊老K”有
,因此有
.
推廣:若事件相互獨立,則
.
注意:i. 一般地,如果事件A與B相互獨立,那么A 與與B,
與
也都相互獨立.
ii. 必然事件與任何事件都是相互獨立的.
iii. 獨立事件是對任意多個事件來講,而互斥事件是對同一實驗來講的多個事件,且這多個事件不能同時發(fā)生,故這些事件相互之間必然影響,因此互斥事件一定不是獨立事件.
④獨立重復(fù)試驗:若n次重復(fù)試驗中,每次試驗結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗的結(jié)果,則稱這n次試驗是獨立的. 如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率為P,那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率:.
4. 對任何兩個事件都有
二、隨機變量.
1. 隨機試驗的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是不確定的.試驗如果滿足下述條件:
①試驗可以在相同的情形下重復(fù)進行;②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的,并且不止一個;③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個,但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果.
它就被稱為一個隨機試驗.
2. 離散型隨機變量:如果對于隨機變量可能取的值,可以按一定次序一一列出,這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.若ξ是一個隨機變量,a,b是常數(shù).則也是一個隨機變量.一般地,若ξ是隨機變量,
是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù),則
也是隨機變量.也就是說,隨機變量的某些函數(shù)也是隨機變量.
設(shè)離散型隨機變量ξ可能取的值為:
ξ取每一個值的概率
,則表稱為隨機變量ξ的概率分布,簡稱ξ的分布列.
…
…
P
…
…
有性質(zhì)①;
②
.
注意:若隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值,這樣的變量叫做連續(xù)型隨機變量.例如:即
可以取0~5之間的一切數(shù),包括整數(shù)、小數(shù)、無理數(shù).
3. ⑴二項分布:如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P,那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是:[其中
]
于是得到隨機變量ξ的概率分布如下:我們稱這樣的隨機變量ξ服從二項分布,記作~B(n?p),其中n,p為參數(shù),并記
.
⑵二項分布的判斷與應(yīng)用.
①二項分布,實際是對n次獨立重復(fù)試驗.關(guān)鍵是看某一事件是否是進行n次獨立重復(fù),且每次試驗只有兩種結(jié)果,如果不滿足此兩條件,隨機變量就不服從二項分布.
②當(dāng)隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小,而每次抽取時又只有兩種試驗結(jié)果,此時可以把它看作獨立重復(fù)試驗,利用二項分布求其分布列.
4. 幾何分布:“”表示在第k次獨立重復(fù)試驗時,事件第一次發(fā)生,如果把k次試驗時事件A發(fā)生記為
,事A不發(fā)生記為
,那么
.根據(jù)相互獨立事件的概率乘法分式:
于是得到隨機變量ξ的概率分布列.
1
2
3
…
k
…
P
q
qp
…
…
我們稱ξ服從幾何分布,并記,其中
5. ⑴超幾何分布:一批產(chǎn)品共有N件,其中有M(M<N)件次品,今抽取件,則其中的次品數(shù)ξ是一離散型隨機變量,分布列為
.〔分子是從M件次品中取k件,從N-M件正品中取n-k件的取法數(shù),如果規(guī)定
<
時
,則k的范圍可以寫為k=0,1,…,n.〕
⑵超幾何分布的另一種形式:一批產(chǎn)品由 a件次品、b件正品組成,今抽取n件(1≤n≤a+b),則次品數(shù)ξ的分布列為.
⑶超幾何分布與二項分布的關(guān)系.
設(shè)一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成,不放回抽取n件時,其中次品數(shù)ξ服從超幾何分布.若放回式抽取,則其中次品數(shù)的分布列可如下求得:把
個產(chǎn)品編號,則抽取n次共有
個可能結(jié)果,等可能:
含
個結(jié)果,故
,即
~
.[我們先為k個次品選定位置,共
種選法;然后每個次品位置有a種選法,每個正品位置有b種選法] 可以證明:當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽取個數(shù)不多時,
,因此二項分布可作為超幾何分布的近似,無放回抽樣可近似看作放回抽樣.
高考復(fù)習(xí)科目:數(shù)學(xué) 高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)(九)
復(fù)習(xí)內(nèi)容:高中數(shù)學(xué)第十章-排列組合
復(fù)習(xí)范圍:第十章
編寫時間:2004-7
修訂時間:總計第三次 2005-4
一、兩個原理.
1. 乘法原理、加法原理.
2. 可以有重復(fù)元素的排列.
高考復(fù)習(xí)科目:數(shù)學(xué) 高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)(九)
復(fù)習(xí)內(nèi)容:高中數(shù)學(xué)第九章-立體幾何
復(fù)習(xí)范圍:第九章
編寫時間:2004-7
修訂時間:總計第三次 2005-4
一、 平面.
1. 經(jīng)過不在同一條直線上的三點確定一個面.
注:兩兩相交且不過同一點的四條直線必在同一平面內(nèi).
2. 兩個平面可將平面分成3或4部分.(①兩個平面平行,②兩個平面相交)
3. 過三條互相平行的直線可以確定1或3個平面.(①三條直線在一個平面內(nèi)平行,②三條直線不在一個平面內(nèi)平行)
[注]:三條直線可以確定三個平面,三條直線的公共點有0或1個.
4. 三個平面最多可把空間分成 8 部分.(X、Y、Z三個方向)
高考復(fù)習(xí)科目:數(shù)學(xué) 高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)(八)
復(fù)習(xí)內(nèi)容:高中數(shù)學(xué)第八章-圓錐曲線方程
復(fù)習(xí)范圍:第八章
編寫時間:2004-7
修訂時間:總計第三次 2005-4
四川師大附中高2006屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)(六)
§6. 不 等 式 知識要點
1. ⑴平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均(a、b為正數(shù)):
(當(dāng)a = b時取等)
特別地,(當(dāng)a = b時,
)
冪平均不等式:
⑵含立方的幾個重要不等式(a、b、c為正數(shù)):
①
②
(
,
);
(
)
⑶絕對值不等式:
⑷算術(shù)平均≥幾何平均(a1、a2…an為正數(shù)):(a1=a2…=an時取等)
⑸柯西不等式:設(shè)則
等號成立當(dāng)且僅當(dāng)時成立.(約定
時,
)
例如:.
⑹常用不等式的放縮法:①
②
2. 常用不等式的解法舉例(x為正數(shù)):
①
②
類似于
③
高考復(fù)習(xí)科目:數(shù)學(xué) 高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)(五)
復(fù)習(xí)內(nèi)容:高中數(shù)學(xué)第五章-平面向量
復(fù)習(xí)范圍:第五章
編寫時間:2004-7
修訂時間:總計第三次 2005-4
1. 長度相等且方向相同的兩個向量是相等的量.
注意:①若為單位向量,則
. (
) 單位向量只表示向量的模為1,并未指明向量的方向.
②若,則
∥
. (√)
2. ①=
②
③
④設(shè)
(向量的模,針對向量坐標(biāo)求模)
⑤平面向量的數(shù)量積: ⑥
⑦
⑧
注意:①不一定成立;
.
②向量無大�。ā按笥凇薄ⅰ靶∮凇睂ο蛄繜o意義),向量的模有大小.
③長度為0的向量叫零向量,記,
與任意向量平行,
的方向是任意的,零向量與零向量相等,且
.
④若有一個三角形ABC,則0;此結(jié)論可推廣到
邊形.
⑤若(
),則有
. (
) 當(dāng)
等于
時,
,而
不一定相等.
⑥?
=
,
=
(針對向量非坐標(biāo)求模),
≤
.
⑦當(dāng)時,由
不能推出
,這是因為任一與
垂直的非零向量
,都有
?
=0.
⑧若∥
,
∥
,則
∥
(×)當(dāng)
等于
時,不成立.
3. ①向量與非零向量
共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)
,使得
(平行向量或共線向量).
當(dāng)與
共線同向:當(dāng)
與
共線反向;當(dāng)
則為
與任何向量共線.
注意:若共線,則
(×)
若是
的投影,夾角為
,則
,
(√)
②設(shè)=
,
∥
⊥
③設(shè),則A、B、C三點共線
∥
=
(
)
(
)=
(
)(
)
(
)?(
)=(
)?(
)
④兩個向量、
的夾角公式:
⑤線段的定比分點公式:(
和
)
設(shè) =
(或
=
),且
的坐標(biāo)分別是
,則
![]() |
![]() |
||
推廣1:當(dāng)時,得線段
的中點公式:
推廣2:則
(
對應(yīng)終點向量).
三角形重心坐標(biāo)公式:△ABC的頂點
,重心坐標(biāo)
:
注意:在△ABC中,若0為重心,則,這是充要條件.
⑥平移公式:若點P按向量
=
平移到P‘
,則
4. ⑴正弦定理:設(shè)△ABC的三邊為a、b、c,所對的角為A、B、C,則.
⑵余弦定理:
⑶正切定理:
⑷三角形面積計算公式:
設(shè)△ABC的三邊為a,b,c,其高分別為ha,hb,hc,半周長為P,外接圓、內(nèi)切圓的半徑為R,r.
①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R
④S△=1/2sinC?ab=1/ [海倫公式]
⑥S△=1/2(b+c-a)ra[如下圖]=1/2(b+a-c)rc=1/2(a+c-b)rb
[注]:到三角形三邊的距離相等的點有4個,一個是內(nèi)心,其余3個是旁心.
如圖:
圖1中的I為S△ABC的內(nèi)心, S△=Pr
圖2中的I為S△ABC的一個旁心,S△=1/2(b+c-a)ra
附:三角形的五個“心”;
重心:三角形三條中線交點.
外心:三角形三邊垂直平分線相交于一點.
內(nèi)心:三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點.
垂心:三角形三邊上的高相交于一點.
旁心:三角形一內(nèi)角的平分線與另兩條內(nèi)角的外角平分線相交一點.
⑸已知⊙O是△ABC的內(nèi)切圓,若BC=a,AC=b,AB=c
[注:s為△ABC的半周長,即]
則:①AE==1/2(b+c-a)
②BN==1/2(a+c-b)
③FC==1/2(a+b-c)
綜合上述:由已知得,一個角的鄰邊的切線長,等于半周長減去對邊(如圖4).
特例:已知在Rt△ABC,c為斜邊,則內(nèi)切圓半徑r=(如圖3).
⑹在△ABC中,有下列等式成立.
證明:因為所以
,所以
,
結(jié)論!
⑺在△ABC中,D是BC上任意一點,則
.
證明:在△ABCD中,由余弦定理,有①
在△ABC中,由余弦定理有②,②代入①,化簡
可得,
(斯德瓦定理)
①若AD是BC上的中線,;
②若AD是∠A的平分線,,其中
為半周長;
③若AD是BC上的高,,其中
為半周長.
⑻△ABC的判定:
△ABC為直角△
∠A + ∠B =
<
△ABC為鈍角△
∠A + ∠B<
>
△ABC為銳角△
∠A + ∠B>
附:證明:,得在鈍角△ABC中,
⑼平行四邊形對角線定理:對角線的平方和等于四邊的平方和.
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com