2009年廣東省東莞高級中學(xué)下學(xué)期高三第一次模擬

   數(shù) 學(xué)（理 科）                 

本試卷共4頁，21小題，滿分150分．考試用時120分鐘．

注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上．用2B鉛筆將試卷類型填涂在答題卡相應(yīng)位置上．

2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．

3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須填寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．

4．作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號（或題組號）對應(yīng)的信息點，再作答．漏涂、錯涂、多涂的，答案無效．

5．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．

參考公式：如果事件互斥，那么．

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．已知i為虛數(shù)單位，則（i）（ i）=

A．0                B．1                C．2              D．2i

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2．在等比數(shù)列｛an｝中，已知 ，則

A．16               B．16或－16         C．32             D．32或－32   

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3．已知向量a =（x，1），b =（3，6），ab ，則實數(shù)的值為

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A．               B．              C．             D．

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4．經(jīng)過圓的圓心且斜率為1的直線方程為       

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A．      B．      C.      D．

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5. 圖1是某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖，

則甲、乙兩人這幾場比賽得分的中位數(shù)之和是

A．65                       B．64

C．63                       D．62                                                                                                                     

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6. 命題“”的否命題是                                             

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A.      B.                          

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C.      D.

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7．圖2為一個幾何體的三視圖，側(cè)視圖和正視圖均為矩形，俯視圖為正三

角形，尺寸如圖，則該幾何體的側(cè)面積為

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A．6                         B．12

C．24                        D．32

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8. 已知拋物線的方程為，過點和點的直

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線與拋物線沒有公共點,則實數(shù)的取值范圍是                       

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   A.             B.

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C.       D.    

 

(一)必做題（9~ 12題）

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二、填空題: 本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．

9. 函數(shù)的定義域為               .  

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10. 在的二項展開式中，x3的系數(shù)是_______________．（用數(shù)字作答）

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11.在如圖3所示的算法流程圖中，輸出S的值為            . 

 

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12. 已知變量滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)僅在點

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處取得最小值, 則實數(shù)的取值范圍為              .

                                                                                     圖3

 

(二) 選做題（13 ~ 15題，考生只能從中選做兩題）

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13．（不等式選講選做題）不等式的解集是______________．

 

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14．(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講選做題)在直角坐標(biāo)系中圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

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以原點為極點，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則圓的圓心極坐標(biāo)為_________ ．

 

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15．（幾何證明選講選做題）如圖4，是圓外一點，

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過引圓的兩條割線PAB、PCD，PA = AB =，

CD = 3，則PC =____________．

 

 

 

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三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

16. (本小題滿分12分)

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已知R.

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（1）求函數(shù)的最小正周期;

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（2）求函數(shù)的最大值，并指出此時的值．

 

 

 

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17．（本小題滿分12分）

一廠家向用戶提供的一箱產(chǎn)品共10件，其中有2件次品，用戶先對產(chǎn)品進(jìn)行抽檢以決定是否接收．

抽檢規(guī)則是這樣的：一次取一件產(chǎn)品檢查（取出的產(chǎn)品不放回箱子），若前三次沒有抽查到次品，

則用戶接收這箱產(chǎn)品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽檢，并且用戶拒絕接收這箱產(chǎn)品.

（1）求這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率；

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（2）記抽檢的產(chǎn)品件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

 

 

 

 

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18．（本小題滿分14分）

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如圖5，已知等腰直角三角形，其中∠=90º，．

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點A、D分別是、的中點，現(xiàn)將△沿著邊折起到△位置，

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使⊥，連結(jié)、．

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（1）求證：⊥；

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（2）求二面角的平面角的余弦值．

 

 

 

 

 

 

 

 

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19. (本小題滿分14分)

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設(shè)橢圓的離心率為=,點是橢圓C上的一點,且點到橢圓兩焦點的距離之和為4.

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(1)求橢圓的方程；

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（2）橢圓上一動點關(guān)于直線的對稱點為,求的取值范圍.

 

 

 

 

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20.（本小題滿分14分）


 

  
  

   

    
    

    
                     1
                  2     3
                     4     5     6  7       
    
 8     9  10  11  12  13  14   15
                    …………………………
                  
    圖6
 


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       設(shè)（i、j∈N*）是位于這個數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、


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從左往右數(shù)第j個數(shù). 數(shù)表中第行共有個正整數(shù).


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（1）若＝2010，求i、j的值；


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（2）記N*), 


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試比較與的大小, 并說明理由.
 
 
 
 


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21. （本小題滿分14分）


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已知函數(shù) (R)．


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(1)  當(dāng)時，求函數(shù)的極值；


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（2）若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個交點，求的取值范圍．
 
 
 
 
 
 
 
2008-2009學(xué)年度東莞高級中學(xué)第一次月考


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說明：1．參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力比照評分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)．
      2．對解答題中的計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分．
      3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．
4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分．
一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共10小題，每小題5分，滿分50分． 
    
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
A
B
C
C
D
 
二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題．
9．    10．        11．         12.  
13.           14．     15．2
說明：第14題答案可以有多種形式，如可答或Z等, 均給滿分.
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16．(本小題滿分12分)          

解：（1）∵
            
                                       ……2分
            
                                 ……4分      
            
.                                            
……6分
∴.                                          
          ……8分
(2) 當(dāng)時, 取得最大值, 其值為2 .                   
……10分
此時，即Z.                     
……12分 
 
17．(本小題滿分12分)
解：（1）設(shè)“這箱產(chǎn)品被用戶接收”為事件，.        ……3分    
即這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率為．                            
……4分     
（2）的可能取值為1，2，3．                                      
……5分    
=，                                                

=，                                            

=，                     
               ……8分     

∴的概率分布列為：
1
2
3
……10分
∴=．             
            ……12分
 
18．(本小題滿分14分)
解：（1）∵點A、D分別是、的中點，
∴.                                    
……2分                   

∴∠=90º.
∴.
∴ ,                                                   

∵,
∴⊥平面.                                        
……4分      
∵平面,
∴.                                            
……6分       
（2）法1：取的中點，連結(jié)、． 
∵,
∴.                       
              
∵,
∴平面.
∵平面,
∴.                     
……8分
∵
∴平面.
∵平面,
∴.
∴∠是二面角的平面角.                           
……10分  
在Rt△中, ，
在Rt△中, ，
.                            
……12分          

∴ 二面角的平面角的余弦值是.               
……14分         

 
法2：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則（－1，0，0），（－2，1，0），（0，0，1）.
∴=（－1，1，0），=（1，0，1）,     
……8分 
設(shè)平面的法向量為=（x，y，z），則：
，                     ……10分
令，得，
∴=（1，1，－1）.
顯然，是平面的一個法向量，=（）．  ……12分            
∴cos<，>=．  
∴二面角的平面角的余弦值是.               
 ……14分        

 
 
 
 
19. (本小題滿分14分)
解:(1)依題意知,              
……2分                                       

      ∵,
∴.                    
 ……4分                 

∴所求橢圓的方程為.                     
 ……6分              
（2）∵ 點關(guān)于直線的對稱點為，
∴                           ……8分                  
解得：，.               
 ……10分                
 
∴.                                   
 ……12分            
∵
點在橢圓:上,
∴, 則.
∴的取值范圍為.              
 ……14分            
    
20.（本小題滿分14分）
解：（1）數(shù)表中前行共有個數(shù)，
即第i行的第一個數(shù)是，                        
……2分             

         ∴＝．
∵，＝2010，
∴ i＝11．                                             
……4分        
令,     
解得．                         
……6分          
 
（2）∵
．                                   
……7分      
∴．                   

當(dāng)時, , 則;
當(dāng)時, , 則;
當(dāng)時, , 則;
當(dāng)時, 猜想:
.                       
 ……11分        

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確.
① 當(dāng)時,, 即成立;
② 假設(shè)當(dāng)時, 猜想成立,
即,
  則,
∵,
∴.
即當(dāng)時，猜想也正確.
由①、②得當(dāng)時, 成立.
當(dāng)時,.                            
……13分              

綜上所述, 當(dāng)時, ; 當(dāng)時,.  ……14分        
另法( 證明當(dāng)時, 可用下面的方法):
當(dāng)時, C + C + C+ C
                    

                    

                    
.
            

 
21. (本小題滿分14分)
解：（1）當(dāng)時，，
∴.                    

       令=0, 得 .                  
 ……2分                                  

當(dāng)時,, 則在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,, 則在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時,, 在上單調(diào)遞增.      
……4分             

∴ 當(dāng)時, 取得極大值為;
當(dāng)時, 取得極小值為.       ……6分 
（2） ∵ = ，
∴△= =  .                             

① 若a≥1，則△≤0，                          
……7分              

∴≥0在R上恒成立，
∴ f（x）在R上單調(diào)遞增 .                                                    
∵f（0），,                  

∴當(dāng)a≥1時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點．     ……9分   
② 若a＜1，則△＞0，
∴= 0有兩個不相等的實數(shù)根，不妨設(shè)為x1，x2，（x1<x2）．
∴x1+x2 = 2，x1x2 = a．   
當(dāng)變化時，的取值情況如下表：                       

x
x1
（x1，x2）
x2
+
0
－
0
+
f（x）
ㄊ
極大值
 
ㄋ
極小值
 
ㄊ
                                    
 ……11分
∵,
∴.
∴
				
	

		



同步練習(xí)冊答案





























	





	







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