處取得最小值, 則實數(shù)的取值范圍為 . 圖3 (二) 選做題(13 ~ 15題.考生只能從中選做兩題) 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點O,且在點處的切線的斜率是.

（Ⅰ）求實數(shù)的值； 

（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值；

（Ⅲ）對任意給定的正實數(shù)，曲線上是否存在兩點P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？說明理由.

【解析】第一問當(dāng)時，，則。

依題意得：，即    解得

第二問當(dāng)時，，令得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值

第三問假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.

（Ⅰ）當(dāng)時，，則。

依題意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①當(dāng)時，，令得

當(dāng)變化時，的變化情況如下表：

0

—

0

+

0

—

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減

又，，�！�在上的最大值為2.

②當(dāng)時, .當(dāng)時, ,最大值為0；

當(dāng)時, 在上單調(diào)遞增�！�在最大值為。

綜上，當(dāng)時，即時，在區(qū)間上的最大值為2；

當(dāng)時，即時，在區(qū)間上的最大值為。

（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.

若，則代入（*）式得：

即，而此方程無解，因此。此時，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，則

∴在上單調(diào)遞增，  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。

因此，對任意給定的正實數(shù)，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上

 

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已知變量x，y滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)x=y-ax僅在點（5，3）處取得最小值，則實數(shù)a的取值范圍為（    ）。

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10、已知D是由以A（7，9），B（3，1），C（1，3）為頂點的三角形內(nèi)部及其邊界組成的平面區(qū)域，則D中使線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點B（3，1）處取得最小值，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

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已知D是由以A（7，9），B（3，1），C（1，3）為頂點的三角形內(nèi)部及其邊界組成的平面區(qū)域，則D中使線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點B（3，1）處取得最小值，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．（-∞，-2）
B．（-∞，-2）∪（1，+∞）
C．（-2，1）
D．（-1，2）

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已知D是由以A（7，9），B（3，1），C（1，3）為頂點的三角形內(nèi)部及其邊界組成的平面區(qū)域，則D中使線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點B（3，1）處取得最小值，則實數(shù)a的取值范圍是


  1. A.
    （-∞，-2）
  2. B.
    （-∞，-2）∪（1，+∞）
  3. C.
    （-2，1）
  4. D.
    （-1，2）

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說明：1．參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力比照評分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)．

      2．對解答題中的計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分．

      3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．

4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分．

一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運(yùn)算．共10小題，每小題5分，滿分50分．

   

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

A

B

A

B

C

C

D

 

二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運(yùn)算．本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題．

9．    10．        11．         12.  

13.           14．     15．2

說明：第14題答案可以有多種形式，如可答或Z等, 均給滿分.

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

16．(本小題滿分12分)          

解：（1）∵

                                                    ……2分

                                              ……4分     

             .                                             ……6分

∴.                                                     ……8分

(2) 當(dāng)時, 取得最大值, 其值為2 .                    ……10分

此時，即Z.                      ……12分

 

17．(本小題滿分12分)

解：（1）設(shè)“這箱產(chǎn)品被用戶接收”為事件，.        ……3分   

即這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率為．                             ……4分    

（2）的可能取值為1，2，3．                                       ……5分   

=，                                                

=，                                            

=，                                     ……8分     

∴的概率分布列為：

1

2

3

……10分

∴=．                          ……12分

 

18．(本小題滿分14分)

解：（1）∵點A、D分別是、的中點，

∴.                                     ……2分                   

∴∠=90º.

∴.

∴ ,                                                   

∵,

∴⊥平面.                                         ……4分     

∵平面,

∴.                                             ……6分      

（2）法1：取的中點，連結(jié)、．

∵,

∴.                                      

∵,

∴平面.

∵平面,

∴.                      ……8分

∵

∴平面.

∵平面,

∴.

∴∠是二面角的平面角.                            ……10分 

在Rt△中, ，

在Rt△中, ，

.                             ……12分          

∴ 二面角的平面角的余弦值是.                ……14分         

 

法2：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則（－1，0，0），（－2，1，0），（0，0，1）.

∴=（－1，1，0），=（1，0，1）,      ……8分

設(shè)平面的法向量為=（x，y，z），則：

，                     ……10分

令，得，

∴=（1，1，－1）.

顯然，是平面的一個法向量，=（）．  ……12分            

∴cos<，>=． 

∴二面角的平面角的余弦值是.                 ……14分        

 

 

 

 

19. (本小題滿分14分)

解:(1)依題意知,               ……2分                                       

      ∵,

∴.                      ……4分                 

∴所求橢圓的方程為.                       ……6分              

（2）∵ 點關(guān)于直線的對稱點為，

∴                           ……8分                  

解得：，.                 ……10分                

 

∴.                                     ……12分            

∵ 點在橢圓:上,

∴, 則.

∴的取值范圍為.                ……14分                 

20.（本小題滿分14分）

解：（1）數(shù)表中前行共有個數(shù)，

即第i行的第一個數(shù)是，                         ……2分             

         ∴＝．

∵，＝2010，

∴ i＝11．                                              ……4分       

令,    

解得．                          ……6分            

（2）∵

．                                    ……7分     

∴．                   

當(dāng)時, , 則;

當(dāng)時, , 則;

當(dāng)時, , 則;

當(dāng)時, 猜想: .                         ……11分        

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確.

① 當(dāng)時,, 即成立;

② 假設(shè)當(dāng)時, 猜想成立, 即,

  則,

∵,

∴.

即當(dāng)時，猜想也正確.

由①、②得當(dāng)時, 成立.

當(dāng)時,.                             ……13分              

綜上所述, 當(dāng)時, ; 當(dāng)時,.  ……14分       

另法( 證明當(dāng)時, 可用下面的方法):

當(dāng)時, C + C + C+ C

                    

                    

                     .

            

 

21. (本小題滿分14分)

解：（1）當(dāng)時，，

∴.                    

       令=0, 得 .                    ……2分                                  

當(dāng)時,, 則在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時,, 則在上單調(diào)遞減;

當(dāng)時,, 在上單調(diào)遞增.       ……4分             

∴ 當(dāng)時, 取得極大值為;

當(dāng)時, 取得極小值為.       ……6分

（2） ∵ = ，

∴△= =  .                             

① 若a≥1，則△≤0，                           ……7分              

∴≥0在R上恒成立，

∴ f（x）在R上單調(diào)遞增 .                                                    

∵f（0），,                  

∴當(dāng)a≥1時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點．     ……9分  

② 若a＜1，則△＞0，

∴= 0有兩個不相等的實數(shù)根，不妨設(shè)為x1，x2，（x1<x2）．

∴x1+x2 = 2，x1x2 = a．  

當(dāng)變化時，的取值情況如下表：                       

x

x1

（x1，x2）

x2

+

0

－

0

+

f（x）

ㄊ

極大值

 

ㄋ

極小值

 

ㄊ

                                      ……11分

∵,

∴.

∴


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