兩圓外切的性質(zhì)與應(yīng)用
孫建洪
兩圓的位置關(guān)系有外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含五種關(guān)系,當(dāng)相切的兩個(gè)圓,除了切點(diǎn)外,每個(gè)圓上的點(diǎn)都各在另一個(gè)圓的外部時(shí),我們稱這兩個(gè)圓外切。而且外切關(guān)系是兩圓位置關(guān)系中比較重要的一種關(guān)系,它具有的性質(zhì)較多。
4 性質(zhì)(1) 外切兩圓的連心線必經(jīng)過它們的切點(diǎn),且兩個(gè)圓心之間的距離d(圓心距)
等于兩個(gè)圓的半徑之和,即d=R+r
兩圓外切,其中任一個(gè)圓的過兩圓切點(diǎn)的切線,也必是另一個(gè)圓的切線,也就是說,
兩個(gè)圓心及切點(diǎn)這三點(diǎn)共線。
例1 若兩圓半徑分別為R,r(R>r),其圓心距為d,且 ,則兩圓的位置關(guān)系是__________.
解:因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/3d295a3d85e54ce0b50d6e6bd9a79fec.zip/66806/兩圓外切的性質(zhì)與應(yīng)用%20專題指導(dǎo).files/image004.gif" >
所以
所以
所以d=R+r(R+r=-d不合題意).
因此兩圓的位置關(guān)系是外切.
二、外切的兩圓,共有三條公切線,其中兩條是外公切線,一條是內(nèi)公切線,內(nèi)公切線過兩圓的切點(diǎn)且垂直于它們的連心線。
如圖1,半徑為r、R的⊙⊙外切,外公切線AB分別切⊙⊙于A、B,那么AB就是外公切線長(zhǎng)。連,由切線性質(zhì)知
可證得四邊形ABCD為矩形,得
,
因此,,
而在RtΔ
性質(zhì)(2) 外公切線長(zhǎng)等于
7 兩圓外切,經(jīng)常添的輔助線是內(nèi)公切線,因?yàn)閮?nèi)公切線可以產(chǎn)生兩圓相等的弦切角,可將兩圓的元素聯(lián)系起來.
性質(zhì)(3) 添內(nèi)公切線是解決兩圓外切問題的金鑰匙.
例2 已知如圖2, ⊙⊙外切于點(diǎn)C,PA切⊙于點(diǎn)A,交⊙于點(diǎn)P、D,直接PC交⊙于點(diǎn)B。
求證:AC平分∠BCD。
解:過C作⊙⊙的內(nèi)公切線`MN交AP于M,所以∠MCD=∠P.
又PA切⊙于點(diǎn)A,
所以∠MAC=∠ACM,
所以∠ACB=∠P+∠MAC=∠MCD+∠MCA=∠DCA.
即AC平分∠BCD.
四.看下一例:如圖3, ⊙⊙外切于點(diǎn)P,AB為兩圓的外公切線,切點(diǎn)為A、B,求證為直角三角形.
解:過P作內(nèi)公切線交AB于E,由切線長(zhǎng)定理知EB=EP,EP=EA,即EB=EP=EA,根據(jù)定理(在一個(gè)三角形中,一邊上的中線等于該邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形)知為直角三角形.
此題中AB為外公切線與兩圓的切點(diǎn),P為兩圓切點(diǎn).
我們習(xí)慣上把稱為切點(diǎn)三角形.
在關(guān)于兩圓外切關(guān)系的幾何證明題中,運(yùn)用切點(diǎn)三角形來分析問題,解決問題,可以收到事半功倍的效果,它的應(yīng)用在兩圓外切中尤為重要.
性質(zhì)(4) 切點(diǎn)三角形是直角三角形.
例4(重慶市中考題)如圖4, ⊙⊙外切于點(diǎn)P,內(nèi)公切線PC與外公切線AB(A、B分別是⊙⊙上的切點(diǎn))相交于點(diǎn)C,已知⊙⊙的半徑分別為3、4,則PC的長(zhǎng)等于________.
分析:由于AB為外公切線,由性質(zhì)(2)知
又由性質(zhì)(4)知為直角在三角形且CP=CB=AC,故CP為斜邊AB上的中線,因此
例5.如圖5, ⊙⊙外切于點(diǎn)P,AB為兩圓的外公切線,切點(diǎn)為A、B,連心線
⊙于C,交⊙于D,CA與DB的延長(zhǎng)線相交于Q,求證:.
簡(jiǎn)析:連AP、BP,由上題知∠APB=Rt∠,又∠CAP=∠PBD=Rt∠,故由四邊形內(nèi)角和定理知∠Q=Rt∠,即
兩圓外切關(guān)系的這些性質(zhì),在解題時(shí)要靈活的應(yīng)用.在例4、例5中的切點(diǎn)三角形并不是現(xiàn)成有的,而是添線構(gòu)造出來的,難度稍大些,因此腦子中對(duì)切點(diǎn)三角形這些性質(zhì)必須有深刻的印象,才能舉一反三,觸類旁通.
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