Question

【題目】在熱核反應(yīng)中，磁場(chǎng)換流器可以控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，其簡(jiǎn)化模型圖如圖甲所示，通有電流的線圈在其內(nèi)部形成柱狀的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的截面圖如圖乙所示，磁場(chǎng)半徑為R，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，圓心位于O點(diǎn)。磁場(chǎng)中部有一接地的柱狀材料M，其截面圓的圓心也為O點(diǎn)，粒子若打到該材料，將被其吸收。在磁場(chǎng)的邊緣A點(diǎn)有一個(gè)粒子源，向磁場(chǎng)內(nèi)部各個(gè)方向以某一恒定速率釋放質(zhì)量為m，電荷量為q的負(fù)電粒子。建立直角坐標(biāo)系如圖，A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑OA與y軸重合。沿+y方向的粒子恰好不與中部柱狀材料M接觸，直接從磁場(chǎng)外邊沿C點(diǎn)射出磁場(chǎng)，C點(diǎn)坐標(biāo)為（R，R）。不考慮粒子間的相互作用和重力。

（1）順這磁場(chǎng)方向看，線圈中的電流方向如何（回答順時(shí)針或逆時(shí)針）？求射入磁場(chǎng)的粒子的速度大小和柱狀材料M的橫截面積；

（2）求粒子穿過(guò)x=R直線時(shí)對(duì)應(yīng)的y坐標(biāo)范圍；

（3）若在磁場(chǎng)外邊緣加裝一光滑的特殊環(huán)形材料N，粒子與之碰撞時(shí)都是完全彈性碰撞的，每次碰撞后粒子的電荷量不變。現(xiàn)使粒子源的速度大小可調(diào)，發(fā)射方向限制在第一象限方向，某粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)經(jīng)時(shí)間恰好與材料N發(fā)生第6次碰撞，碰撞點(diǎn)為D（0，2R），求該粒子在A點(diǎn)發(fā)射的速度方向和大小。

Answer 1

【答案】（1）電流方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颍?/span>，； （2）i：[0，R]，ii：[，2R]； （3）或

【解析】

（1）由安培定則得：電流方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较?/span>

由粒子做勻圓周運(yùn)動(dòng)有：

得：

由幾何關(guān)系得：柱狀材料M的半徑

柱狀材料M的橫截面積為：

（2）i：粒子初速度方向?yàn)榈谝幌笙迺r(shí)：穿過(guò)x=R直線y坐標(biāo)范圍是[0，R]

ii：當(dāng)粒子初速度方向?yàn)榈诙�象限時(shí)：設(shè)某粒子軌跡恰好與材料M內(nèi)切如圖：

軌跡圓心為點(diǎn)，由幾何關(guān)系得：為菱形

所以粒子在射出點(diǎn)P的速度方向沿+x方向

該+x方向與入射角無(wú)關(guān)，則所有粒子出磁場(chǎng)時(shí)速度均沿+x方向。

設(shè)從P點(diǎn)射出的粒子交x=R直線于點(diǎn)。

由幾何關(guān)系得：

所以：

點(diǎn)的y坐標(biāo)為

穿過(guò)x=R直線的y坐標(biāo)范圍是[，2R]

（3）每次碰撞在N邊界上轉(zhuǎn)過(guò)弧度，共碰撞6次

所以：

即：

每次碰撞軌跡圓心角為，總時(shí)間恰為一個(gè)周期

所以：

即：

由正弦定理得：

又：

設(shè)入射時(shí)與+y的夾角為i

由幾何關(guān)系得：

上述三式得：

將代入上式得只能取k=0，1

i.k=0時(shí)，粒子發(fā)射的方向?yàn)榕c+y夾角為

代入得：

ii.k=1時(shí)，粒子發(fā)射的方向?yàn)榕c+y夾角為

代入得：