(2012?邯鄲一模)如圖所示,兩電阻不計(jì)的足夠長(zhǎng)光滑平行金屬導(dǎo)軌與水平面夾角為θ,導(dǎo)軌間距為l,所在平面的正方形區(qū)域abcd內(nèi)存在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于斜面向上.如圖所示,將甲、乙兩阻值相同,質(zhì)量均為m的相同金屬桿放置在導(dǎo)軌上,甲金屬桿處在磁場(chǎng)的上邊界,甲、乙相距l(xiāng).從靜止釋放兩金屬桿的同時(shí),在金屬桿甲上施加一個(gè)沿著導(dǎo)軌的外力,使甲金屬桿在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終沿導(dǎo)軌向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng),且加速度大小以a=gsinθ,乙金屬桿剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng).
(1)求每根金屬桿的電阻R為多少?
(2)從剛釋放金屬桿時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí),寫(xiě)出從計(jì)時(shí)開(kāi)始到甲金屬桿離開(kāi)磁場(chǎng)的過(guò)程中外力F隨時(shí)間t的變化關(guān)系式,并說(shuō)明F的方向.
(3)若從開(kāi)始釋放兩桿到乙金屬桿離開(kāi)磁場(chǎng),乙金屬桿共產(chǎn)生熱量Q,試求此過(guò)程中外力F對(duì)甲做的功.
分析:(1)甲、乙勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度相同,當(dāng)乙通過(guò)位移l進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí),甲剛出磁場(chǎng),由運(yùn)動(dòng)學(xué)速度位移公式求出乙進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度,乙金屬桿剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng),根據(jù)平衡條件求解電阻R.
(2)從剛釋放金屬桿時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí),由于甲的加速度大小a=gsinθ,外力與安培力大小相等,由速度公式得出速度與時(shí)間的關(guān)系式,根據(jù)安培力的表達(dá)式得出外力與時(shí)間的關(guān)系式.
(3)從開(kāi)始釋放兩桿到乙金屬桿離開(kāi)磁場(chǎng),乙進(jìn)入磁場(chǎng)前,甲、乙發(fā)出相同熱量,導(dǎo)體棒克服安培力做功等于回路產(chǎn)生的熱量.甲出磁場(chǎng)以后,外力F為零,乙在磁場(chǎng)中,安培力大小等于重力沿斜面向下的分力,甲、乙發(fā)出相同熱量,根據(jù)功能關(guān)系得出回路產(chǎn)生的熱量,根據(jù)總熱量等于Q,求出外力做功.
解答:解:(1)由題,甲、乙勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度相同,所以,當(dāng)乙進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí),甲剛出磁場(chǎng)
乙進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v=
2glsinθ

根據(jù)平衡條件有mgsinθ=
B2l2v
2R

解得:R=
B2l2
2glsinθ
2mgsinθ

(2)甲在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí),外力F始終等于安培力F=
B2l2v
2R
,v=gsinθ?t
R=
B2l2
2glsinθ
2mgsinθ

代入得:F=
mg2sin2θ
2glsinθ
t
,方向沿導(dǎo)軌向下
(3)乙進(jìn)入磁場(chǎng)前,甲、乙發(fā)出相同熱量,設(shè)為Q1,則有
  Fl=2Q1
  又F=F
故外力F對(duì)甲做的功WF=Fl=2Q1
甲出磁場(chǎng)以后,外力F為零,乙在磁場(chǎng)中,甲、乙發(fā)出相同熱量,設(shè)為Q2,則有
F′l=2Q2
又F′=mgsinθ
又Q=Q1+Q2
解得:WF=2Q-mglsinθ
答:
(1)每根金屬桿的電阻R=
B2l2
2glsinθ
2mgsinθ

(2)從剛釋放金屬桿時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí),從計(jì)時(shí)開(kāi)始到甲金屬桿離開(kāi)磁場(chǎng)的過(guò)程中外力F隨時(shí)間t的變化關(guān)系式為F=
mg2sin2θ
2glsinθ
t
,方向沿導(dǎo)軌向下.
(3)從開(kāi)始釋放兩桿到乙金屬桿離開(kāi)磁場(chǎng),乙金屬桿共產(chǎn)生熱量Q,此過(guò)程中外力F對(duì)甲做的功為2Q-mglsinθ.
點(diǎn)評(píng):本題審題時(shí)緊扣導(dǎo)體棒切割磁感線時(shí)加速度為a=gsinθ,外力與安培力大小相等,外力F對(duì)甲做的功等于導(dǎo)體棒克服安培力做功.
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