Question

【題目】12. 如甲圖所示，xOy平面位于豎直面內(nèi)，勻強(qiáng)磁場垂直于xOy平面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。一質(zhì)量為m，帶電量為q（q＞0）的微粒從坐標(biāo)原點(diǎn)O處垂直磁場射入，微粒的運(yùn)動軌跡由初速度的大小和方向決定。

(1)若微粒的運(yùn)動軌跡為直線，那么微粒的初速度大小是多少，方向又如何？

(2)若微粒的重力很小可忽略，微粒做周期性運(yùn)動，其運(yùn)動周期是多少？

(3)若微粒的重力不可忽略，且射入速度不同于第（1）題，那么其運(yùn)動軌跡為如圖乙所示的周期性曲線（畫出不同初速度條件下的多條運(yùn)動軌跡）。從運(yùn)動的合成與分解角度而言，一個復(fù)雜的曲線運(yùn)動可以分解為正交兩個方向的直線運(yùn)動，即化曲為直的方法；也可以分解為一個直線運(yùn)動和一個圓周運(yùn)動，即化曲為直與化曲為圓結(jié)合方法。試著運(yùn)用運(yùn)動的合成與分解求解下列問題。

a.粒子在一個時間周期內(nèi)，沿x軸方向前進(jìn)的空間周期S；

b.以初速度v0沿x軸方向射入時，其y-t圖象如圖乙所示，寫出y-t的函數(shù)表達(dá)式。

Answer 1

【答案】（1），沿x軸正方向；（2）；（3）（a）,（b）。

【解析】

（1）微粒的運(yùn)動軌跡是直線時，微粒做勻速直線運(yùn)動，洛倫茲力與重力是一對平衡力，即有

所以，初速度大小為

方向沿x軸正方向。

（2）微粒的重力很小可忽略時，微粒做勻速圓周運(yùn)動，即有

于是解得：時間周期

。

（3）在坐標(biāo)原點(diǎn)O處對帶電粒子進(jìn)行受力分析，受到沿y軸負(fù)方向的重力

和y軸正方向的洛倫茲力

當(dāng)時，帶電粒子做周期性曲線運(yùn)動。為了把曲線運(yùn)動分解為勻速圓周運(yùn)動和勻速直線運(yùn)動兩種最簡單的運(yùn)動形式，構(gòu)造一對平衡洛倫茲力，它們分別沿y軸正、負(fù)方向，大小等于

其中。重新組合，沿y軸正方向的與G重新構(gòu)成一對平衡力，沿y軸負(fù)方向的與f0構(gòu)成合洛倫茲力

其中

那么，曲線運(yùn)動分解為以速度v1向右的勻速直線運(yùn)動和由洛倫茲力提供向心力的勻速圓周運(yùn)動。這兩個分運(yùn)動之間相互獨(dú)立，互不影響，但是具有同時性。

（a）綜上處理與分析，由運(yùn)動合成與分解原理可知，周期性曲線運(yùn)動的時間周期T由勻速圓周運(yùn)動這一分運(yùn)動決定， x軸方向上的空間周期與勻速直線運(yùn)動有關(guān)，即空間周期

（b）坐標(biāo)y隨時間的關(guān)系由勻速圓周分運(yùn)動決定，其角速度

t時刻轉(zhuǎn)過的角度為

圓周運(yùn)動半徑

由幾何關(guān)系知

即：