Question

【題目】如圖所示，在國慶70周年聯(lián)歡活動上有精彩的煙花表演，通過高空、中空、低空煙花燃放和特殊煙花裝置表演，分波次、多新意地展現(xiàn)煙花藝術(shù)的魅力。某同學(xué)注意到，很多煙花炸開后，形成漂亮的禮花球，一邊擴(kuò)大，一邊下落。假設(shè)某種型號的禮花彈從專用炮筒中沿豎直方向射出，到達(dá)最高點(diǎn)時炸開。已知禮花彈從炮筒射出的速度為v0，忽略空氣阻力。

（1）求禮花彈從專用炮筒中射出后，上升的最大高度h；

（2）禮花彈在最高點(diǎn)炸開后，其中一小塊水平向右飛出，以最高點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以水平向右為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向，建立坐標(biāo)系，請通過分析說明它的運(yùn)動軌跡是一條拋物線。

（3）若（2）中小塊水平向右飛出的同時，坐標(biāo)系做自由落體運(yùn)動，請分析說明該小塊相對于坐標(biāo)原點(diǎn)的運(yùn)動情況。

（4）假設(shè)禮花彈在最高點(diǎn)炸開后產(chǎn)生大量的小塊，每個小塊拋出的速度v大小相等，方向不同，有的向上減速運(yùn)動，有的向下加速運(yùn)動，有的做平拋運(yùn)動，有的做斜拋運(yùn)動。請論證說明禮花彈炸開后所產(chǎn)生的大量小塊會形成一個隨時間不斷擴(kuò)大的球面。

Answer 1

【答案】（1）（2）是一條拋物線方程（3）勻速直線運(yùn)動（4）具體見解析

【解析】

(1)忽略空氣阻力，禮花彈上升過程機(jī)械能守恒

得

(2)以最高點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以水平向右為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向，建立坐標(biāo)系，小塊平拋運(yùn)動

解得

是一條拋物線方程。

(3)該小塊相對坐標(biāo)原點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動。

(4)設(shè)某小塊的拋出速度為v，與水平方向夾角為θ，將v沿水平方向（x軸）和豎直方向（y軸，向下為正方向）正交分解。由拋體運(yùn)動的研究可知質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)為

x＝vcos θ ·t

y＝v sin θ ·t+gt2

聯(lián)立以上兩式，消去θ即得

x2＋(y－gt2)2＝ (vt)2

這是一個以（0，gt2）坐標(biāo)為圓心、以vt為半徑的圓的方程式�？梢�，只要初速度v相同，無論初速度方向怎樣，各發(fā)光質(zhì)點(diǎn)均落在一個圓上（在空間形成一個球面，其球心在不斷下降，“禮花”球一面擴(kuò)大，一面下落），如圖所示。

本題也可用運(yùn)動合成和分解的知識解釋如下：禮花炮爆炸后，每個發(fā)光質(zhì)點(diǎn)的拋出速度v大小相同，方向各異，都可以分解為沿原速度方向的勻速直線運(yùn)動和只在重力作用下的自由落體運(yùn)動（這里忽略空氣阻力，如果受到空氣阻力或風(fēng)的影響，那么，“禮花”就不會形成球面形狀了）。很明顯，前一分運(yùn)動使各發(fā)光質(zhì)點(diǎn)時刻構(gòu)成一個圓，后一個分運(yùn)動都相同，所以觀察者看到的是一個五彩繽紛的“禮花”球一面擴(kuò)大、一面下落。