Question

【題目】宇航員從空間站（繞地球運行）上釋放了一顆質(zhì)量m=500kg的探測衛(wèi)星．該衛(wèi)星通過一條柔軟的細輕繩與空間站連接，穩(wěn)定時衛(wèi)星始終在空間站的正下方，到空間站的距離l=20km．已知空間站的軌道為圓形，周期T = 92 min（分）．

i．忽略衛(wèi)星拉力對空間站軌道的影響，求衛(wèi)星所受輕繩拉力的大小．

ii．假設(shè)某一時刻衛(wèi)星突然脫離輕繩．試計算此后衛(wèi)星軌道的近地點到地面的高度、遠地點到地面的高度和衛(wèi)星運行周期．取地球半徑R = 6.400×103km，地球同步衛(wèi)星到地面的高度為H0 =3.6000×104km，地球自轉(zhuǎn)周期T0 = 24 小時．

Answer 1

【答案】i．；ii．238km

【解析】

i．設(shè)空間站離地面的高度為H,因為同步衛(wèi)星的周期和地球自轉(zhuǎn)周期相同，根據(jù)開普勒第三定律以及題意有

(1)

即

(2)

代人數(shù)據(jù)得

H=376km(3)

衛(wèi)星的高度

h=H-l=356km(4)

衛(wèi)星在細繩的拉力F和地球引力作用下跟隨空間站一起繞地球作周期為T的圓周運動，有

(5)

式中G為萬有引力常量，M為地球質(zhì)量．空間站在地球引力作用下繞地球作周期為T的圓周運動

故有

(6)

式中m’為空間站的質(zhì)量．由（5）、（6）兩式得

(7)

將（3）、（4）式及其他有關(guān)數(shù)據(jù)代人（7）式得F=38.2N(8)

ii．細繩脫落后，衛(wèi)星在地球引力作用下繞地球運動的軌道為一橢圓．在脫落的瞬間，衛(wèi)星的速度垂直于衛(wèi)星與地心的連線，所以脫落點必是遠地點（或近地點），由(4）式可知，此點到地面的高度

h=356km(9)

設(shè)衛(wèi)星在近地點（或遠地點）的高度為h'，速度為v'，根據(jù)開普勒第二定律，有

(10)

根據(jù)機械能守恒，有

(11)

聯(lián)立（10）、（11）兩式并利用（6）式得

(12)

代人有關(guān)數(shù)據(jù)有h'=238km(13)

由（9）、（13）兩式可知，遠地點到地面的高度為356km，近地點到地面的高度為238km.

設(shè)衛(wèi)星的周期為T'，根據(jù)開普勒第三定律，衛(wèi)星的周期

(14)

代人數(shù)據(jù)得

T'=90.4min(15)