Question

【題目】如圖甲所示，三個(gè)物體A、B、C靜止放在光滑水平面上，物體A、B用一輕質(zhì)彈簧連接，并用細(xì)線拴連使彈簧處于壓縮狀態(tài)，此時(shí)彈簧長度L=0.1m；三個(gè)物體的質(zhì)量分別為mA=0.1kg、mB=0.2kg和mC=0.1kg．現(xiàn)將細(xì)線燒斷，物體A、B在彈簧彈力作用下做往復(fù)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)過程中物體A不會(huì)碰到物體C）．若此過程中彈簧始終在彈性限度內(nèi)，并設(shè)以向右為正方向，從細(xì)線燒斷后開始計(jì)時(shí)，物體A的速度時(shí)間圖象如圖乙所示．求：

（1）物體B運(yùn)動(dòng)速度的最大值；
（2）從細(xì)線燒斷到彈簧第一次伸長到L1=0.4m時(shí)，物體B運(yùn)動(dòng)的位移大��；
（3）若在某時(shí)刻使物體C以vC=4m/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，它將與正在做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的物體A發(fā)生碰撞，并立即結(jié)合在一起，試求在以后的運(yùn)動(dòng)過程中，彈簧可能具有的最大彈性勢能的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：對于物體A、B與輕質(zhì)彈簧組成的系統(tǒng)，當(dāng)燒斷細(xì)線后動(dòng)量守恒，設(shè)物體B運(yùn)動(dòng)的最大速度為vB，有：

mAvA+mBvB=0

vB=﹣ =﹣ vA，

由圖乙可知，當(dāng)t= 時(shí)，物體A的速度vA達(dá)到最大，vA=﹣4m/s

則 vB=2m/s

即物體B運(yùn)動(dòng)的最大速度為2m/s，

答：物體B運(yùn)動(dòng)速度的最大值為2m/s

（2）解：設(shè)A、B的位移大小分別為xA、xB，瞬時(shí)速度的大小分別為v′A、v′B

由于系統(tǒng)動(dòng)量守恒，則在任何時(shí)刻有：mAv′A﹣mBv′B=0

則在極短的時(shí)間△t內(nèi)有：mAv′A△t﹣mBv′B△t=0

mAv′A△t=mBv′B△t

累加求和得：mA∑v′A△t=mB∑v′B△t

mAxA=mBxB

xB= ，xA= xA

依題意：xA+xB=L1﹣L

解得：xB=0.1m

答：從細(xì)線燒斷到彈簧第一次伸長到L1=0.4m時(shí)，物體B運(yùn)動(dòng)的位移大小為0.1m

（3）解：因水平方向系統(tǒng)不受外力，故系統(tǒng)動(dòng)量守恒，因此，不論A、C兩物體何時(shí)何處相碰，三物體速度相同時(shí)的速度是一個(gè)定值，總動(dòng)能也是一個(gè)定值，且三個(gè)物體速度相同時(shí)具有最大彈性勢能．

設(shè)三個(gè)物體速度相同時(shí)的速度為v共，

依據(jù)動(dòng)量守恒定律有：mCvC=（mA+mB+mC）v共，

解得：v共=1m/s

當(dāng)A在運(yùn)動(dòng)過程中速度為4m/s，且與C同向時(shí)，跟C相碰，A、C相碰后速度v1=vA=vC，設(shè)此過程中具有的最大彈性勢能為E1，

由能量守恒得：E1= （mA+mC）v12+ mB ﹣ （mA+mB+mC） =1.8J

當(dāng)A在運(yùn)動(dòng)過程中速度為﹣4m/s時(shí)，跟C相碰，設(shè)A、C相碰后速度為v2，由動(dòng)量守恒：

mCvC﹣mAvA=（mA+mC）v2，

解得：v2=0

設(shè)此過程中具有的最大彈性勢能設(shè)為E2

由能量守恒：E2= （mA+mC）v22+ mBvB2﹣ （mA+mB+mC）v共2=0.2J

由上可得：彈簧具有的最大彈性勢能Epm的可能值的范圍：0.2J≤Epm＜1.8J．

答：在以后的運(yùn)動(dòng)過程中，彈簧可能具有的最大彈性勢能的取值范圍為0.2J≤Epm＜1.8J．

【解析】（1）對于物體A、B與輕質(zhì)彈簧組成的系統(tǒng)，燒斷細(xì)線后系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，當(dāng)A的速度最大時(shí)，B的速度也最大，由圖讀出A的最大速度，即可求得B運(yùn)動(dòng)速度的最大值；（2）根據(jù)A、B系統(tǒng)的動(dòng)量守恒列式，結(jié)合在極短的時(shí)間△t內(nèi)位移等于速度與時(shí)間△t的乘積，得到A、B位移xA、xB關(guān)系，依題意：xA+xB=L1﹣L，聯(lián)立即可求得物體B運(yùn)動(dòng)的位移大�。唬�3）A、B、C組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，可知三物體速度相同時(shí)的速度是一個(gè)定值，總動(dòng)能也是一個(gè)定值，此時(shí)彈性勢能最大．當(dāng)A與C同向相撞和反向相撞時(shí)，根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒和能量守恒列式求解．
【考點(diǎn)精析】利用動(dòng)量守恒定律對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知?jiǎng)恿渴睾愣�律成立的條件：系統(tǒng)不受外力或系統(tǒng)所受外力的合力為零；系統(tǒng)所受的外力的合力雖不為零，但系統(tǒng)外力比內(nèi)力小得多；系統(tǒng)所受外力的合力雖不為零，但在某個(gè)方向上的分量為零，則在該方向上系統(tǒng)的總動(dòng)量的分量保持不變．