Question

（2011?東城區(qū)模擬）如圖所示，四分之三周長的細(xì)圓管的半徑R=0.4m，管口B和圓心O在同一水平面上，D是圓管的最高點(diǎn)，其中半圓周BE段存在摩擦，BC和CE段動(dòng)摩擦因數(shù)相同，ED段光滑；質(zhì)量m=0.5kg、直徑稍小于圓管內(nèi)徑的小球從距B正上方高H=2.5m的A處自由下落，從B處進(jìn)入圓管繼續(xù)運(yùn)動(dòng)直到圓管的最高點(diǎn)D飛出，恰能再次飛到B處．重力加速度g=10m/s²．求：
（1）小球飛離D點(diǎn)時(shí)的速度；
（2）小球在D點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小和方向；
（3）小球從B點(diǎn)到D點(diǎn)過程中克服摩擦所做的功．

Answer 1

分析：（1）小球從最高點(diǎn)D飛出做平拋運(yùn)動(dòng)，由水平距離和豎直距離求出小球飛離D點(diǎn)時(shí)的速度．
（2）在D點(diǎn)小球受到重力和圓管的彈力，由牛頓定律求解小球在D點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小和方向．
（3）根據(jù)動(dòng)能定理求出小球從B點(diǎn)到D點(diǎn)過程中克服摩擦所做的功．

解答：解：（1）小球飛離D點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，有
             x_OB=R=v_Dt
             h=R=

1

2

gt2
           解得vD=

2

m/s
    （2）小球在D點(diǎn)受到重力mg，假設(shè)管道對它的作用力豎直向下為F_N，
            由牛頓第二定律得mg+FN=m

vD2

R

            解得F_N=-2.5N，說明圓管對小球的作用力是豎直向上的支持力．
           由牛頓第三定律可知小球?qū)�管道的�?nèi)壁有壓力，壓力的大小為2.5N，方向豎直向下．
     （3）設(shè)小球從B到D的過程中克服摩擦力做功W_f
          在A到D過程中，根據(jù)動(dòng)能定理，有mg(H-R)-Wf=

1

2

mvD2
             代入計(jì)算得W_f=10 J
答：（1）小球飛離D點(diǎn)時(shí)的速度為

2

m/s；
    （2）小球在D點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力為2.5N，方向豎直向下；
    （3）小球從B點(diǎn)到D點(diǎn)過程中克服摩擦所做的功為10J．

點(diǎn)評：本題是動(dòng)能定理和向心力知識(shí)的綜合應(yīng)用，這類問題常常涉及到臨界條件．第（3）問中用動(dòng)能定理求變力的功也是常用方法．