Question

鐵路轉(zhuǎn)彎處的彎道半徑r是根據(jù)地形決定的．彎道處要求外軌比內(nèi)軌高，其內(nèi)外軌高度差h的設(shè)計(jì)不僅與r有關(guān)，還取決于火車在彎道上的行駛速率．下圖表格中是鐵路設(shè)計(jì)人員技術(shù)手冊(cè)中彎道半徑r及與之對(duì)應(yīng)的軌道的高度差h．

彎道半徑r/m	660	330	220	165	132	110
內(nèi)外軌高度差h/mm	50	100	150	200	250	300

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，試導(dǎo)出h和r關(guān)系的表達(dá)式，并求出當(dāng)r=550m時(shí)，h的設(shè)計(jì)值；
（2）鐵路建成后，火車通過(guò)彎道時(shí)，為保證絕對(duì)安全，要求內(nèi)外軌道均不向車輪施加側(cè)向壓力，又已知我國(guó)鐵路內(nèi)外軌的間距設(shè)計(jì)值為L(zhǎng)=1435mm，結(jié)合表中數(shù)據(jù)，算出我國(guó)火車的轉(zhuǎn)彎速率v（g=9.8m/s，以km/h為單位，結(jié)果取整數(shù)；路軌傾角很小時(shí)，正弦值按正切值處理）
（3）隨著人們生活節(jié)奏加快，對(duì)交通運(yùn)輸?shù)目旖萏岢隽烁�高的要求．為了提高運(yùn)輸力，2007年4月18日鐵道部將對(duì)鐵路進(jìn)行第六次大面積提速，這就要求鐵路轉(zhuǎn)彎速率也需要提高．請(qǐng)根據(jù)上述計(jì)算原理和上述表格分析提速時(shí)應(yīng)采取怎樣的有效措施？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，每組的h與r之乘積均等于常數(shù)，根據(jù)這個(gè)關(guān)系求出當(dāng)r=550m時(shí)，h的設(shè)計(jì)值．
（2）對(duì)火車受力分析，通過(guò)合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出火車的轉(zhuǎn)彎速率v．
（3）當(dāng)速度增大，根據(jù)牛頓第二定律分析采取的有效措施．

解答：解：（1）分析表中數(shù)據(jù)可得，每組的h與r之乘積均等于常數(shù)：
C=660m×50×10^-3m=33m²   因此：h?r=33（或h=33

1

r

）①
當(dāng)r=550m時(shí)，有：h=

33

550

m=0.06m=60mm      
（2）轉(zhuǎn)彎中，當(dāng)內(nèi)外軌對(duì)車輪沒(méi)有側(cè)向壓力時(shí)，火車的受力如圖所示．由牛頓第二定律得：
mgtanθ=m

v2

r

  ②
因?yàn)棣群苄�，有�?span id="ldgrkbh" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">tanθ≈sinθ=

h

L

③
由②，③可得：v=

ghr L

 ④
代入數(shù)據(jù)得：v=15m/s=54km/h
（3）由④式可知，可采取的有效措施有：
a．適當(dāng)增大內(nèi)外軌的高度差h；
b．適當(dāng)增大鐵路彎道的軌道半徑r．
答：（1）當(dāng)r=550m時(shí)，h的設(shè)計(jì)值60mm．
（2）我國(guó)火車的轉(zhuǎn)彎速率v為54km/h．
（3）可以適當(dāng)增大內(nèi)外軌的高度差h；適當(dāng)增大鐵路彎道的軌道半徑r．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵能夠正確地受力分析，搞清向心力的來(lái)源，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解．