Question

【題目】如圖所示，傾斜軌道AB的傾角為37°，CD、EF軌道水平，AB與CD通過(guò)光滑 圓弧管道 BC 連接，CD右端與豎直光滑圓周軌道相連．小球可以從D進(jìn)入該軌道，沿軌道內(nèi) 側(cè)運(yùn)動(dòng)，從E滑出該軌道進(jìn)入EF水平軌道．小球由靜止從A點(diǎn)釋放，已知AB長(zhǎng)為5R，CD長(zhǎng)為 R，重力加速度為 g，小球與斜軌 AB 及水平軌道CD、EF的動(dòng)摩擦因數(shù)均為 0.5，圓弧管道BC入口B與出口C的高度差為1.8R.(sin37°=0.6，cos37°=0.8)求：

(1)小球?qū)�剛�?/span>C時(shí)對(duì)軌道的作用力；

(2)要使小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不脫離軌道，豎直圓周軌道的半徑 R′應(yīng)該滿足什么條件？若R′=2.5R，小球最后所停位置距D(或E)多遠(yuǎn)？（注：在運(yùn)算中，根號(hào)中的數(shù)值無(wú)需算出）

Answer 1

【答案】(1) 球?qū)�軌道的作用力�?/span>6.6mg，方向豎直向下 (2)b球?qū)⑼Ｔ?/span>D點(diǎn)左側(cè)，距D點(diǎn)0.6R處

【解析】

（1）設(shè)小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度為v，a球從A運(yùn)動(dòng)至C過(guò)程，由動(dòng)能定理有：

可得：

小球沿BC軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)在C點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)球的作用力為N，由牛頓第二定律，有：

其中r滿足：

r+rsin53°=1.8R

聯(lián)立上式可得：

N=6.6mg

由牛頓第三定律可得，球?qū)�軌道的作用力�?/span>6.6mg，方向豎直向下．

（2）球不脫離軌道，有兩種情況：

情況一：小球能滑過(guò)圓周軌道最高點(diǎn)，進(jìn)入EF軌道．則小球在最高點(diǎn)P應(yīng)滿足：

小球從C直到P點(diǎn)過(guò)程，由動(dòng)能定理，有：

可得：

情況二：小球上滑至四分之一圓軌道的Q點(diǎn)時(shí)，速度減為零，然后滑回D．則由動(dòng)能定理有：

解得：

R'=2.3R

要使小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不脫離軌道，豎直圓周軌道的半徑R'應(yīng)該滿足：R'=0.92R或R'=2.3R；

若R'=2.5R，由上面分析可知，小球必定滑回D，設(shè)其能向左滑過(guò)DC軌道，并沿CB運(yùn)動(dòng)到達(dá)B點(diǎn)，在B點(diǎn)的速度為vB，則由能量守恒定律有：

可得：

故知，小球不能滑回傾斜軌道AB，小球?qū)⒃趦蓤A軌道之間做往返運(yùn)動(dòng)，小球?qū)⑼Ｔ?/span>CD軌道上的某處．設(shè)小球在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的總路程為S，則由能量守恒定律，有：

聯(lián)立兩式可得：

S=5.6R

所以知，b球?qū)⑼Ｔ?/span>D點(diǎn)左側(cè)，距D點(diǎn)0.6R處