Question

（2011?上海模擬）如圖甲所示，兩根足夠長的光滑平行金屬導軌相距為L=0.40m，導軌平面與水平面成θ=30？角，上端和下端通過導線分別連接阻值R₁=R₂=1.2Ω的電阻，質量為m=0.20kg、阻值為r=0.20Ω的金屬棒ab放在兩導軌上，棒與導軌垂直且保持良好接觸，整個裝置處在垂直導軌平面向上的磁場中，取重力加速度g=10m/s²．若所加磁場的磁感應強度大小恒為B，通過小電動機對金屬棒施加力，使金屬棒沿導軌向上做勻加速直線運動，經過0.5s電動機的輸出功率達到10W，此后保持電動機的輸出功率不變，金屬棒運動的v-t圖如圖乙所示，試求：
（1）磁感應強度B的大��；
（2）在0-0.5s時間內金屬棒的加速度a的大��；
（3）在0-0.5s時間內電動機牽引力F與時間t的關系；
（4）如果在0-0.5s時間內電阻R₁產生的熱量為0.135J，則這段時間內電動機做的功．

Answer 1

分析：當棒穩(wěn)定時以穩(wěn)定的速度運動，根據電動機的輸出功率可以求出此時電動機對棒的拉力，由于穩(wěn)定時棒受力平衡，據此可以求得金屬棒所受的合力為0，根據受力分析可以得出此時棒所受的安培力F，再根據F=BIL可以求出此時金屬棒所在磁場的磁感應強度B；

解答：解：（1）由圖象可知，當金屬棒的最大速度為v_m=5m/s，因為此時電動機的功率恒為P=10W，根據P=Fv可得此時電動機對金屬棒的拉力F=

P

vm

  ①
對金屬棒進行受力分析可得：

由圖可知：F_合x=F-F_安-mgsin30°=0
故此時F_安=F-mgsinθ        ②
又因為回路中產生的感應電動勢E=BLv_{m ③}
根據歐姆定律可得，此時回路中電流I=

BLvm

r+ R 2

           ④
由①②③④可解得B=1T
（2）由題意可知，當t=0.5s時，金屬棒獲得的速度v=at
此時電路中產生的感應電流I=

BLv

r+ 1 2 R

，金屬棒受到的安培力=F安=

B2L2v

r+ 1 2 R

此時電動機的拉力F=

P

v

則對金屬棒進行受力分析有：F-F_安-mgsinθ=ma
代入有關數(shù)據有：

P

at

-

B2L2at

r+ 1 2 R

-mgsinθ=ma
又因為t=0.5s，m=0.2kg，R=1.2Ω，r=0.20Ω，θ=30°
所以可計算得a=

20

3

m/s2
（3）在0-0.5s時間里對金屬棒進行受力分析有：
  F-F_安-mgsinθ=ma得
F=ma+mgsin30°+F_安
代入a=

20

3

m/s2，F安=

B2L2v

r+ 1 2 R

，m=0.2kg，R=1.2Ω，r=0.20Ω，θ=30°
可計算得F=

4t

3

+

7

3

．
（4）令通過導體棒的電流為I，則通過電阻R₁和R₂的電流分別為

1

2

I
電流做功Q=I²Rt得：
對于R₁產生的熱量：Q1=(

I

2

)2Rt
對于R₂產生的熱量：Q2=(

I

2

)2Rt
對于導體棒r產生的熱量：Q3=I2rt
因為I和t相等，R=1.2Ω，r=0.2Ω，Q₁=0.135J
所以可以計算出：Q₂=Q₁=0.135J，Q₃=0.09J
即整個電路產生的熱量Q=Q₁+Q₂+Q₃=0.36J
對整個0.5s過程中由于導體棒的加速度為

20

3

m/s2在0.5s的時間里，導體棒沿軌道上升的距離
x=

1

2

at2=

1

2

×

20

3

×(

1

2

)2m=

5

6

m
0.5s末導體棒的速度v=at=

20

3

×

1

2

m/s=

10

3

m/s
在這0.5s的時間里，滿足能量守恒，故有：
WF-Q-mgxsinθ=

1

2

mv2
∴力F做功為：WF=Q+mgxsinθ+

1

2

mv2
代入Q=0.36J，m=0.2kg，x=

5

6

m，v=

10

3

m/s可得：
W_F=2.34J
答：（1）磁感應強度B=1T；
（2）在0-0.5s時間內金屬棒的加速度a=

20

3

m/s2；
（3）在0-0.5s時間內電動機牽引力F與時間t的關系：F=

4t

3

+

7

3

；
（4）如果在0-0.5s時間內電阻R₁產生的熱量為0.135J，則這段時間內電動機做的功W_F=2.34J．

點評：會正確分析導體棒受到的安培力的大小及計算式，熟悉功率的表達式，能分過程對導體棒的運動過程進行分析．