Question

【題目】如圖所示為xOy平面直角坐標系，在x=a處有一平行于y軸的直線MN，在x=4a處放置一平行于y軸的熒光屏，熒光屏與x軸交點為Q，在第一象限內(nèi)直線MN與熒光屏之間存在沿y軸負方向的勻強電場。原點O處放置一帶電粒子發(fā)射裝置，它可以連續(xù)不斷地發(fā)射同種初速度大小為v0的帶正電粒子，調(diào)節(jié)坐標原點處的帶電粒子發(fā)射裝置，使其在xOy平面內(nèi)沿不同方向將帶電粒子射入第一象限（速度與x軸正方向間的夾角為0≤θ≤）。若在第一象限內(nèi)直線MN的左側加一垂直xOy平面向外的勻強磁場，這些帶電粒子穿過該磁場后都能垂直進入電場。已知勻強磁場的磁感應強度大小為B，帶電粒子的比荷，電場強度大小E=Bv0，不計帶電粒子重力，求：

(1)粒子從發(fā)射到到達熒光屏的最長時間。

(2)符合條件的磁場區(qū)域的最小面積。

(3)粒子打到熒光屏上距Q點的最遠距離。

Answer 1

【答案】(1)；(2) ()a2；(3)a。

【解析】

(1)

由題意知，粒子在磁場中做勻速圓周運動，速度沿y軸正方向的粒子在磁場中運動的時間最長，此時粒子軌跡為圓，由圓周運動知

解得

則此時最長時間為

粒子進入電場到到達熒光屏，在x軸方向做勻速直線運動，運動時間為

故粒子從發(fā)射到到達熒光屏的最長時間

(2)帶電粒子在磁場內(nèi)做勻速圓周運動，有

解得

由于帶電粒子的入射方向不同，若磁場充滿紙面，它們所對應的運動軌跡如圖所示.為使這些帶電粒子經(jīng)磁場偏轉后都能垂直直線MN進入電場，由圖可知，它們必須從經(jīng)O點做圓周運動的各圓的最高點飛離磁場.設磁場邊界上P點的坐標為（x，y），則應滿足方程

所以磁場邊界的方程為

以的角度射入磁場區(qū)域的粒子的運動軌跡即為所求磁場另一側的邊界，因此，符合題目要求的最小磁場的范圍應是圓與圓的交集部分（圖中陰影部分），由幾何關系，可以求得符合條件的磁場的最小面積為

(3)

帶電粒子在電場中做類平拋運動，分析可知所有粒子在熒光屏左側穿出電場，設粒子在電場中的運動時間為t，豎直方向的位移為y，水平方向的位移為l，則

聯(lián)立解得

設粒子最終打在熒光屏的最遠點距Q點為h，粒子射出電場時速度與x軸的夾角為α，則有

則當

時，即時，h有最大值。