Question

【題目】如圖，半徑R=m的光滑圓弧軌道固定在豎直平面內(nèi)，軌道的一個(gè)端點(diǎn)A和圓心O的連線與水平方向夾角θ=30°，另一端點(diǎn)B為軌道的最低點(diǎn)，其切線水平。一質(zhì)量M=2kg、板長(zhǎng)L=2.0m的滑板靜止在光滑水平地面上，右端緊靠B點(diǎn)，滑板上表面與圓弧軌道B點(diǎn)和左側(cè)固定平臺(tái)C等高。光滑水平面EF上靜止一質(zhì)量為m=1kg的物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）P，另一物體Q以v0=m/s向右運(yùn)動(dòng)，與P發(fā)生彈性正碰，P隨后水平拋出，恰好從A端無(wú)碰撞進(jìn)入圓弧軌道，且在A處對(duì)軌道無(wú)壓力，此后沿圓弧軌道滑下，經(jīng)B點(diǎn)滑上滑板�；�板運(yùn)動(dòng)到平臺(tái)C時(shí)立刻被粘住。已知物塊P與滑板間動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，滑板左端到平臺(tái)C右側(cè)的距離為s。取g=10m/s2，求：

（1）物體P經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)的速度；

（2）物體Q的質(zhì)量mQ；

（3）物體P剛滑上平臺(tái)C時(shí)的動(dòng)能EkC與s的函數(shù)表達(dá)式。

Answer 1

【答案】（1）2m/s；（2）0.5kg；（3）見(jiàn)解析。

【解析】

（1）設(shè)P在A點(diǎn)的速度為vA．由P無(wú)碰撞進(jìn)入圓軌道，且在A處對(duì)軌道無(wú)壓力，則在A處，由重力指向圓心的分力提供P所需要的向心力，有

mgsinθ=m

解得

vA=2m/s

（2）對(duì)P在A點(diǎn)的速度分解，則其水平分速度

vx=vAsinθ=2×0.5m/s=1m/s

所以P的平拋初速度為

vx=2m/s

Q與P發(fā)生彈性碰撞，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得

mQv0=mQvQ+mvx。

由機(jī)械能守恒得

mQv02=mQvQ2+mvx2。

聯(lián)立解得

mQ=0.5kg

（3）P從A點(diǎn)沿圓軌道滑至B點(diǎn)過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得

解得

vB=2m/s

P滑上滑板后，P帶動(dòng)滑動(dòng)滑板運(yùn)動(dòng)，設(shè)P與滑板能達(dá)到共速，此過(guò)程滑板向左運(yùn)動(dòng)位移為xM。

對(duì)P與滑板系統(tǒng)，取向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律有

mvB=（M+m）v共

解得

v共=m/s

對(duì)滑板，由動(dòng)能定理得

μmgxM=

解得

xM=m

①當(dāng)s≥xM=m時(shí)，P物體剛滑上平臺(tái)C時(shí)的動(dòng)能EkC與s無(wú)關(guān)，對(duì)P和滑板，由能量關(guān)系有

EkC=-Q-△E

其中Q=μmgL

△E=

解得

EkC=J

②當(dāng)s＜xM=m時(shí)，滑板與平臺(tái)相碰時(shí)，P與滑板未共速，對(duì)滑板，由動(dòng)能定理得

fs=

對(duì)P和滑板，由能量關(guān)系有

其中 Q=μmgL

解得

EkC=（4-5s）J