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【題目】已知圓:和定點(diǎn),是圓上任意一點(diǎn),線段的垂直平分線交于點(diǎn),設(shè)動點(diǎn)的軌跡為.
(1)求的方程;
(2)過點(diǎn)作直線與曲線相交于,兩點(diǎn)(,不在軸上),試問:在軸上是否存在定點(diǎn),總有?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】已知長方形中,,,現(xiàn)將長方形沿對角線折起,使,得到一個四面體,如圖所示.
(1)試問:在折疊的過程中,異面直線與能否垂直?若能垂直,求出相應(yīng)的的值;若不垂直,請說明理由;
(2)當(dāng)四面體體積最大時,求二面角的余弦值.
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【題目】2019年5月,重慶市育才中學(xué)開展了“最美教室”文化布置評比活動,工作人員隨機(jī)抽取了16間教室進(jìn)行量化評估,其中評分不低于9分的教室評為優(yōu)秀,以下表格記錄了它們的評分情況:
分?jǐn)?shù)段 | ||||
教室間數(shù) | 1 | 3 | 8 | 4 |
(1)現(xiàn)從16間教室隨機(jī)抽取3個,求至多有1個優(yōu)秀的概率;
(2)以這16間教室評分?jǐn)?shù)據(jù)估計(jì)全校教室的布置情況,若從全校所有教室中任選3個,記表示抽到優(yōu)秀的教室個數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為(, 為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸,取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)當(dāng)時,求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值;
(2)若曲線上的所有點(diǎn)都在直線的下方,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】設(shè)函數(shù),().
(1)當(dāng)時,解關(guān)于的方程(其中為自然對數(shù)的底數(shù));
(2)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(3)當(dāng)時,記,是否存在整數(shù),使得關(guān)于的不等式有解?若存在,請求出的最小值;若不存在,請說明理由. (參考數(shù)據(jù):,)
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【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,離心率為,是橢圓上的一個動點(diǎn),且面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線斜率為,且與橢圓的另一個交點(diǎn)為,是否存在點(diǎn),使得若存在,求的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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【題目】新中國昂首闊步地走進(jìn)2019年,迎來了她70歲華誕.某平臺組織了“偉大的復(fù)興之路一新中國70周年知識問答”活動,規(guī)則如下:共有30道單選題,每題4個選項(xiàng)中只有一個正確,每答對一題獲得5顆紅星,每答錯一題反扣2顆紅星;若放棄此題,則紅星數(shù)無變化.答題所獲得的紅星可用來兌換神秘禮品,紅星數(shù)越多獎品等級越高.小強(qiáng)參加該活動,其中有些題目會做,有些題目可以排除若干錯誤選項(xiàng),其余的題目則完全不會.
(1)請問:對于完全不會的題目,小強(qiáng)應(yīng)該隨機(jī)從4個選項(xiàng)中選一個作答,還是選擇放棄?(利用統(tǒng)計(jì)知識說明理由)
(2)若小強(qiáng)有12道題目會做,剩下的題目中,可以排除一個錯誤選項(xiàng)、可以排除兩個錯誤選項(xiàng)和完全不會的題目的數(shù)量比是.請問:小強(qiáng)在本次活動中可以獲得最多紅星數(shù)的期望是多少?
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【題目】已知橢圓()的左、右焦點(diǎn)分別是,,點(diǎn)為的上頂點(diǎn),點(diǎn)在上,,且.
(1)求的方程;
(2)已知過原點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),垂直于的直線過且與橢圓交于,兩點(diǎn),若,求.
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【題目】如圖,在四棱錐中,四邊形是邊長為2的正方形,,為的中點(diǎn),點(diǎn)在上,平面,在的延長線上,且.
(1)證明:平面.
(2)過點(diǎn)作的平行線,與直線相交于點(diǎn),點(diǎn)為的中點(diǎn),求到平面的距離.
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