【題目】已知長方形中，，，現(xiàn)將長方形沿對角線折起，使，得到一個四面體，如圖所示.

（1）試問：在折疊的過程中，異面直線與能否垂直？若能垂直，求出相應(yīng)的的值；若不垂直，請說明理由；

（2）當(dāng)四面體體積最大時，求二面角的余弦值.

【答案】（1）1；（2）.

【解析】

（1）若AB⊥CD，得AB⊥面ACD，由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC,解得a2=1，成立;（2）四面體A﹣BCD體積最大時面ABD⊥面BCD，以A為原點(diǎn)，在平面ACD中過O作BD的垂線為x軸，OD為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A﹣CD﹣B的余弦值．

(1)若AB⊥CD，因?yàn)?/span>AB⊥AD，AD∩CD＝D，

所以AB⊥面ACDAB⊥AC.

由于AB=1, AD=BC= ,AC=,

由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC,

所以12＋a2＝()2a＝1,

所以在折疊的過程中，異面直線AB與CD可以垂直,此時的值為1

(2)要使四面體A－BCD體積最大，因?yàn)椤?/span>BCD面積為定值，

所以只需三棱錐A－BCD的高最大即可，此時面ABD⊥面BCD.

過A作AO⊥BD于O，則AO⊥面BCD，

以O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 (如圖)，

則易知,

顯然，面BCD的法向量為 ,

設(shè)面ACD的法向量為n＝(x，y，z),

因?yàn)?/span>

所以，令y＝，得n＝(1，，2)，

故二面角A－CD－B的余弦值即為

.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】十三屆全國人大二次會議于2019年3月5日在京召開為了了解某校大學(xué)生對兩會的關(guān)注程度，學(xué)校媒體在開幕后的第二天，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了180人，對是否收看2019年兩會開幕會情況進(jìn)行了問卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：

收看

沒收看

男生

80

40

女生

30

30

（1）根據(jù)上表說明，在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，能否認(rèn)為該校大學(xué)生收看開幕會與性別有關(guān)？（計(jì)算結(jié)果精確到0.001）

（2）現(xiàn)從隨機(jī)抽取的學(xué)生中，采用按性別分層抽樣的方法選取6人，來參加2019年兩會的志愿者宣傳活動，若從這6人中隨機(jī)選取2人到各班級宣傳介紹，求恰好選到一名男生和一名女生的概率. 附，其中.

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)f（x）=﹣x﹣cos2x+m（sinx﹣cosx）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞減，則m的取值范圍是____________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念已經(jīng)深入人心，這將推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展.下表是近幾年我國某地區(qū)新能源乘用車的年銷售量與年份的統(tǒng)計(jì)表:

某機(jī)構(gòu)調(diào)查了該地區(qū)30位購車車主的性別與購車種類情況，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示:

(1)求新能源乘用車的銷量關(guān)于年份的線性相關(guān)系數(shù)，并判斷與是否線性相關(guān);

(2)請將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為購車車主是否購置新能源乘用車與性別有關(guān);

(3)若以這30名購車車主中購置新能源乘用車的車主性別比例作為該地區(qū)購置新能源乘用車的車主性別比例，從該地區(qū)購置新能源乘用車的車主中隨機(jī)選取50人，記選到女性車主的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望與方差.

參考公式:

，，其中.，若，則可判斷與線性相交.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】新中國昂首闊步地走進(jìn)2019年，迎來了她70歲華誕.某平臺組織了“偉大的復(fù)興之路一新中國70周年知識問答”活動，規(guī)則如下：共有30道單選題，每題4個選項(xiàng)中只有一個正確，每答對一題獲得5顆紅星，每答錯一題反扣2顆紅星；若放棄此題，則紅星數(shù)無變化.答題所獲得的紅星可用來兌換神秘禮品，紅星數(shù)越多獎品等級越高.小強(qiáng)參加該活動，其中有些題目會做，有些題目可以排除若干錯誤選項(xiàng)，其余的題目則完全不會.

（1）請問：對于完全不會的題目，小強(qiáng)應(yīng)該隨機(jī)從4個選項(xiàng)中選一個作答，還是選擇放棄？（利用統(tǒng)計(jì)知識說明理由）

（2）若小強(qiáng)有12道題目會做，剩下的題目中，可以排除一個錯誤選項(xiàng)、可以排除兩個錯誤選項(xiàng)和完全不會的題目的數(shù)量比是.請問：小強(qiáng)在本次活動中可以獲得最多紅星數(shù)的期望是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若不等式對恒成立，求的最小值；

（2）證明：.

（3）設(shè)方程的實(shí)根為.令若存在，，，使得，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) .

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；

（2）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線與拋物線：交于，兩點(diǎn)，且的面積為16（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求的方程；

（2）直線經(jīng)過的焦點(diǎn)且不與軸垂直，與交于，兩點(diǎn)，若線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，證明：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線：經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交于，兩點(diǎn)，、分別交直線于，兩點(diǎn).

（1）求的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)，求證：為定值.

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