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【題目】如圖,已知直線與拋物線()交于、兩點,為坐標(biāo)原點,.
(1)求直線的方程和拋物線的方程;
(2)若拋物線上一動點從到運動時(不與、重合),求面積的最大值.
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【題目】已知數(shù)列中,,前項和為,且.
(1)求,的值;
(2)證明:數(shù)列是等差數(shù)列,并寫出其通項公式;
(3)設(shè)(),試問是否存在正整數(shù),(其中,使得,,成等比數(shù)列?若存在,求出所有滿足條件的數(shù)對;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù),,函數(shù),記.把函數(shù)的最大值稱為函數(shù)的“線性擬合度”.
(1)設(shè)函數(shù),,,求此時函數(shù)的“線性擬合度”;
(2)若函數(shù),的值域為(),,求證:;
(3)設(shè),,求的值,使得函數(shù)的“線性擬合度”最小,并求出的最小值.
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【題目】已知點,是圓上的一個動點,為圓心,線段的垂直平分線與直線的交點為.
(1)求點的軌跡的方程;
(2)設(shè)與軸的正半軸交于點,直線與交于兩點(不經(jīng)過點),且,證明:直線經(jīng)過定點,并寫出該定點的坐標(biāo).
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【題目】如圖是某商場2018年洗衣機(jī)、電視機(jī)和電冰箱三種電器各季度銷量的百分比堆積圖(例如:第3季度內(nèi),洗衣機(jī)銷量約占,電視機(jī)銷量約占,電冰箱銷量約占).根據(jù)該圖,以下結(jié)論中一定正確的是( )
A. 電視機(jī)銷量最大的是第4季度
B. 電冰箱銷量最小的是第4季度
C. 電視機(jī)的全年銷量最大
D. 電冰箱的全年銷量最大
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【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,且離心率為,M為橢圓上任意一點,當(dāng)∠F1MF2=90°時,△F1MF2的面積為1.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知點A是橢圓C上異于橢圓頂點的一點,延長直線AF1,AF2分別與橢圓交于點B,D,設(shè)直線BD的斜率為k1,直線OA的斜率為k2,求證:k1·k2等于定值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見解析
【解析】
(Ⅰ)由題意可求得,則,橢圓的方程為.
(Ⅱ)設(shè),,
當(dāng)直線的斜率不存在或直線的斜率不存在時,.
當(dāng)直線、的斜率存在時,,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理計算可得直線的斜率為,直線的斜率為,則.綜上可得:直線與的斜率之積為定值.
(Ⅰ)設(shè)由題,
解得,則,橢圓的方程為.
(Ⅱ)設(shè),,當(dāng)直線的斜率不存在時,
設(shè),則,直線的方程為代入,
可得 ,,則,
直線的斜率為,直線的斜率為,
,
當(dāng)直線的斜率不存在時,同理可得.
當(dāng)直線、的斜率存在時,設(shè)直線的方程為,
則由消去可得:,
又,則,代入上述方程可得:
,,
則 ,
設(shè)直線的方程為,同理可得 ,
直線的斜率為
直線的斜率為, .
所以,直線與的斜率之積為定值,即.
【點睛】
(1)解答直線與橢圓的題目時,時常把兩個曲線的方程聯(lián)立,消去x(或y)建立一元二次方程,然后借助根與系數(shù)的關(guān)系,并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系.
(2)涉及到直線方程的設(shè)法時,務(wù)必考慮全面,不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(x+b)(-a),(b>0),在(-1,f(-1))處的切線方程為(e-1)x+ey+e-1=0.
(Ⅰ)求a,b;
(Ⅱ)若方程f(x)=m有兩個實數(shù)根x1,x2,且x1<x2,證明:x2-x1≤1+.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率,分別是橢圓的左右兩個頂點,圓的半徑為,過點作圓的切線,切點為,在軸的上方交橢圓于點.
(1)求直線的方程;
(2)求的值;
(3)設(shè)為常數(shù),過點作兩條互相垂直的直線,分別交橢圓于點,分別交圓于點,記三角形和三角的面積分別為.求的最大值.
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