【題目】設(shè).求最小的正整數(shù)n,使得對A的任意11個子集,只要它們中任何5個的并的元素個數(shù)都不少于n,則這11個子集中一定存在3個,它們的交非空.
【答案】22
【解析】
n的最小值為22.
首先證明:.令,,
,.
顯然,,,,,.
于是,對其中任何三個子集,必有兩個同時為或者同時為,其交為空集.對其中任何五個子集,
有
,且任何三個子集的交為空集,故.
其次證明:符合條件.假定存在A的11個子集,它們中任何五個的并不少于22個元素,而任何三個的交都為空集.因每個元素至多屬于兩個子集,不妨設(shè)每個元素恰好屬于兩個子集(否則,在一些子集中添加一些元素,上述條件仍然成立).由抽屜原理,此11個子集中必有一個子集(設(shè)為B)至少含有個元素.又設(shè)其他10個子集為,那么,不含B的任何五個子集,都對應(yīng)A中的至少22個元素,所有不含B的5—子集組一共至少對應(yīng)個元素.
另一方面,對于元素a,若,則中有兩個含有a,于是,a被計算了次;若,則中有一個含有a,于是,a被計算了次.從而, .
由此可得,矛盾.
綜上所述,n的最小值為22.
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【題目】已知正三棱錐的高為6,內(nèi)切球(與四個面都相切)表面積為,則其底面邊長為( )
A. 18 B. 12 C. D.
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【題目】如圖,四邊形ABCD是邊長為1的正方形,平面ABCD,平面ABCD,且,G為線段EC上的動點,則下列結(jié)論中正確的是______
;該幾何體外接球的表面積為;
若G為EC中點,則平面AEF;
的最小值為3.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在時取得極值,求實數(shù)的值;
(2)若對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】連續(xù)投擲2粒大小相同,質(zhì)地均勻的骰子3次,則恰有2次點數(shù)之和不小于10的概率為( )
A.B.C.D.
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【題目】我市正在創(chuàng)建全國文明城市,某高中為了解學(xué)生的創(chuàng)文知曉率,按分層抽樣的方法從“表演社”、“演講社”、“圍棋社”三個活動小組中隨機抽取了6人進行問卷調(diào)查,各活動小組人數(shù)統(tǒng)計如下圖:
(1)從參加問卷調(diào)查的6名學(xué)生中隨機抽取2名,求這2名學(xué)生來自同一小組的概率;
(2)從參加問卷調(diào)查的6名學(xué)生中隨機抽取3名,用表示抽得“表演社”小組的學(xué)生人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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【題目】如圖,在圓內(nèi)接等腰梯形中,已知,對角線、交于點,且圖中各條線段長均為正整數(shù),,圓的半徑.
(1)求證:圖中存在一個三角形,其三邊長均為質(zhì)數(shù)且組成等差數(shù)列;
(2)若給圖中的線(包括圓、梯形、梯形的對角線)作點染色,使、、染上紅色,其他點染上紅藍色之一,求證:圖中存在三個同色點,兩兩距離相等且長度為質(zhì)數(shù).
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【題目】某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時間的關(guān)系,對該校200名學(xué)生的課外體育鍛煉平均每天運動的時間(單位:分鐘)進行調(diào)查,將收集的數(shù)據(jù)分成,,,,,六組,并作出頻率分布直方圖(如圖),將日均課外體育鍛煉時間不低于40分鐘的學(xué)生評價為“課外體育達標(biāo)”.
(1)請根據(jù)直方圖中的數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表,并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“課外體育達標(biāo)”與性別有關(guān)?
課外體育不達標(biāo) | 課外體育達標(biāo) | 合計 | |
男 | 60 | ||
女 | 110 | ||
合計 |
(2)現(xiàn)按照“課外體育達標(biāo)”與“課外體育不達標(biāo)”進行分層抽樣,抽取8人,再從這8名學(xué)生中隨機抽取3人參加體育知識問卷調(diào)查,記“課外體育不達標(biāo)”的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式:
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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