Question

【題目】已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F2，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P，△PF1F2內(nèi)切圓的半徑為，設(shè)過(guò)點(diǎn)F2的直線l與被橢圓C截得的線段為RS，當(dāng)l⊥x軸時(shí)，|RS|＝3.

(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2) 若點(diǎn)M(0，m)，（），過(guò)點(diǎn)M的任一直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)A.B，y軸上是否存在點(diǎn)N（0，n）使∠ANM＝∠BNM恒成立？若存在，判斷m、n應(yīng)滿足關(guān)系；若不存在，說(shuō)明理由。

(3) 在（2）條件下m=1時(shí)，求△ABN面積的最大值。

Answer 1

【答案】（1）＋＝1；（2）答案不唯一，見解析；（3）.

【解析】

（1）由內(nèi)切圓半徑表示三角形的面積，可得，再由，求得橢圓方程；

（2）分軸和不垂直于軸時(shí)兩種情況，當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m，直線與橢圓方程聯(lián)立，，代入根與系數(shù)的關(guān)系，得到的關(guān)系；

（3）由（2）得n=3 M(0，1).N（0，3）設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1，也橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，并表示面積，代入根與系數(shù)的關(guān)系，利用基本不等式求最值.

(1)由內(nèi)切圓的性質(zhì)，得×2c×b＝×(2a＋2c)×，得＝.

將x＝c代入＋＝1，得y＝±，所以＝3.

又a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.

(2) ①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，可知∠ANM＝∠BNM＝0.

②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m.

聯(lián)立方程消去y得，(3＋4k2)x2+8kmx+4m2-12＝0.（）

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，x1x2＝.

假設(shè)存在N（0，n）

則kAN＋kBN＝

＝

＝0.（*），對(duì)任意k∈R恒成立.

所以mn=3且m≠0.

m=0時(shí)由（*）式知不存在點(diǎn)N符合題意，

綜上：m=0時(shí)不存在， 時(shí)存在點(diǎn)N（0,n），mn=3。

（3）由（2）得n=3 M(0，1).N（0，3）設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1.

由

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，x1x2＝.

，令則t ≥1,

當(dāng)且僅當(dāng) t=1，k=0時(shí) 取的最大值。

所以△ABN面積的最大值為