Question

【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，過點(diǎn)且垂直于長軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，問三角形內(nèi)切圓面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值及此時直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；；

【解析】

（1）由通徑長度可求得，再結(jié)合即可求解；

（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程可得關(guān)于的一元二次方程，求解出韋達(dá)定理，又由幾何性質(zhì)可得，，再由三角形的內(nèi)切圓的面積公式，內(nèi)切圓面積為，結(jié)合三個關(guān)系式可知，要使最大，即使最大，最終結(jié)合換元法和對勾函數(shù)可求最值；

設(shè)，代入標(biāo)準(zhǔn)方程可得，又，

故，又，求得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；

（2）由題可知要使三角形內(nèi)切圓面積最大，即使內(nèi)切圓半徑最大，而三角形面積的兩個等價公式有①，②，

其中，聯(lián)立兩式可得，設(shè)過的直線方程為，顯然直線斜率不為0，聯(lián)立

，則，

令，則，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，取到最小值，又，時，單增，故，，，

此時，直線方程為：