【題目】已知圓M的圓心M在y軸上,半徑為1.直線l:y=2x+2被圓M所截得的弦長為 ,且圓心M在直線l的下方.
(1)求圓M的方程;
(2)設(shè)A(t,0),B(t+5,0)(﹣4≤t≤﹣1),若AC,BC是圓M的切線,求△ABC面積的最小值.
【答案】
(1)解:設(shè)M(0,b)由題設(shè)知,M到直線l的距離是 =
所以 = ,解得b=1或b=3
因為圓心M在直線l的下方,所以b=1,
即所求圓M的方程為x2+(y﹣1)2=1
(2)解:當(dāng)直線AC,BC的斜率都存在,即﹣4<t<﹣1時
直線AC的斜率kAC=tan2∠MAO= = ,
同理直線BC的斜率kBC=
所以直線AC的方程為y= (x﹣t),
直線BC的方程為y= (x﹣t﹣5)
解方程組
得x= ,y=
所以y= =2﹣
因為﹣4≤t≤﹣1
所以﹣ ≤t2+5t+1<﹣3
所以 ≤y< .
故當(dāng)t=﹣ 時,△ABC的面積取最小值 ×5× = .
當(dāng)直線AC,BC的斜率有一個不存在時,即t=﹣4或t=﹣1時,易求得△ABC的面積為 .
綜上,當(dāng)t=﹣ 時,△ABC的面積的最小值為 .
【解析】(1)先設(shè)點M的坐標(biāo),再根據(jù)弦長可得點M到直線l的距離,進而可得b的值,從而可得圓M的方程;(2)當(dāng)直線AC,BC的斜率都存在時,由已知條件可得直線AC和直線BC的方程,解方程組可得點C的坐標(biāo),進而可得△ABC面積,從而可得△ABC面積的最小值,當(dāng)直線AC,BC的斜率有一個不存在時,易得△ABC面積,綜上所述,可得△ABC的面積的最小值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)我們把一系列向量按次序排成一列,稱之為向量列,記作,已知向量列滿足:,.
(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)設(shè)表示向量與間的夾角,若,對于任意正整數(shù),不等式恒成立,求實數(shù)的范圍
(3)設(shè),問數(shù)列中是否存在最小項?若存在,求出最小項;若不存在,請說明理由
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,過點P(2,1)的直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=2cosθ,已知直線l與曲線C交于A、B兩點.
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)求|PA||PB|的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某公園有三條觀光大道AB,BC,AC圍成直角三角形,其中直角邊BC=200m,斜邊AB=400m,現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB,BC,AC大道上嬉戲,所在位置分別記為點D,E,F(xiàn).
(1)若甲、乙都以每分鐘100m的速度從點B出發(fā)在各自的大道上奔走,到大道的另一端時即停,乙比甲遲2分鐘出發(fā),當(dāng)乙出發(fā)1分鐘后,求此時甲乙兩人之間的距離;
(2)設(shè)∠CEF=θ,乙丙之間的距離是甲乙之間距離的2倍,且∠DEF= ,請將甲乙之間的距離y表示為θ的函數(shù),并求甲乙之間的最小距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次函數(shù),分別從集合和中隨機取一個數(shù)和得到數(shù)對.
(1)若, ,求函數(shù)在內(nèi)是偶函數(shù)的概率;
(2)若, ,求函數(shù)有零點的概率;
(3)若, ,求函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)y=loga(x+3)﹣1(a>0且a≠1)的圖象恒過定點A,若點A在mx+ny+2=0上,其中mn>0,則 的最小值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=. ,直線x=0,x=e,y=0,y=1所圍成的區(qū)域為M,曲線y=f(x)與直線y=1圍成的區(qū)域為N,在區(qū)域M內(nèi)任取一個點P,則點P在區(qū)域N內(nèi)概率為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)z1 , z2是復(fù)數(shù),給出下列四個命題:
①若|z1﹣z2|=0,則 = ②若z1= ,則 =z2
③若|z1|=|z2|,則z1 =z2 ④若|z1|=|z2|,則z12=z22
其中真命題的序號是 .
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