【題目】已知,,其中.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若恒成立,求的最大值.
【答案】(Ⅰ)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)求函數(shù)導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可研究函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)由條件可得 在上恒成立, 求導(dǎo)得,分別討論,和三種情況,研究的最小值的取值情況,從而即可得解.
(Ⅰ)時(shí),,定義域是全體實(shí)數(shù),求導(dǎo)得,
令,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
(Ⅱ)令 在上恒成立,則 在上恒成立
求導(dǎo)得.
若,顯然可以任意小,不符合題意.
若,則最大也只能取0.
當(dāng)時(shí),令 ,
于是在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,在取唯一的極小值也是最小值
,
令,則,
令.
所以在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,
在取唯一極大值也是最大值,此時(shí),,所以的最大值等于.
備注一:結(jié)合圖象,指數(shù)函數(shù)在直線的上方,斜率顯然,再討論的情況.
備注二:考慮到 在上恒成立,令即得.取,
證明在上恒成立也給滿分.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)則關(guān)于的方程的實(shí)數(shù)解最多有
A. 4個(gè) B. 7個(gè) C. 10個(gè) D. 12個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), (, 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)試討論函數(shù)的極值情況;
(2)證明:當(dāng)且時(shí),總有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某二手交易市場(chǎng)對(duì)某型號(hào)的二手汽車的使用年數(shù)()與銷售價(jià)格(單位:萬元/輛)進(jìn)行整理,得到如下的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù):
使用年數(shù) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
銷售價(jià)格 | 16 | 13 | 9.5 | 7 | 4.5 |
(I)試求關(guān)于的回歸直線方程.
(參考公式:,)
(II)已知每輛該型號(hào)汽車的收購(gòu)價(jià)格為萬元,根據(jù)(I)中所求的回歸方程,預(yù)測(cè)為何值時(shí),銷售一輛該型號(hào)汽車所獲得的利潤(rùn)最大?(利潤(rùn)=銷售價(jià)格-收購(gòu)價(jià)格)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著人民生活水平的提高,對(duì)城市空氣質(zhì)量的關(guān)注度也逐步增大,圖2是某城市1月至8月的空氣質(zhì)量檢測(cè)情況,圖中一、二、三、四級(jí)是空氣質(zhì)量等級(jí), 一級(jí)空氣質(zhì)量最好,一級(jí)和二級(jí)都是質(zhì)量合格天氣,下面四種說法正確的是( )
①1月至8月空氣合格天數(shù)超過20天的月份有5個(gè)
②第二季度與第一季度相比,空氣達(dá)標(biāo)天數(shù)的比重下降了
③8月是空氣質(zhì)量最好的一個(gè)月
④6月份的空氣質(zhì)量最差
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,在直二面角中,四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形,,且.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在線段(不包含端點(diǎn))上是否存在點(diǎn),使得與平面所成的角為;若存在,寫出的值,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)若曲線在處切線的斜率為,求此切線方程;
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍,并證明:.
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