Question

【題目】已知函數(shù) ．

（1）若曲線在處切線的斜率為，求此切線方程；

（2）若有兩個極值點，求的取值范圍，并證明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）,證明見解析.

【解析】分析：（1）由函數(shù)的解析式可得，利用可得， 則切點為，切線方程為．

（2）結(jié)合(1)中導(dǎo)函數(shù)的解析令，得．構(gòu)造函數(shù)，令，則，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可知在遞增，在遞減，所以． 結(jié)合題意可得的取值范圍是． 由極值點的性質(zhì)可得不妨設(shè)，則，，結(jié)合的單調(diào)性可得，據(jù)此有，即．

詳解：（1）∵，∴，解得，

∴，故切點為，

所以曲線在處的切線方程為．

（2），令，得．

令，則，

且當(dāng)時，；當(dāng)時，；時，．

令，得，

且當(dāng)時，；當(dāng)時，．

故在遞增，在遞減，所以．

所以當(dāng)時，有一個極值點；

時，有兩個極值點；

當(dāng)時，沒有極值點．

綜上，的取值范圍是．

因為是的兩個極值點，所以即…①

不妨設(shè)，則，，

因為在遞減，且，所以，即…②．

由①可得，即，

由①，②得，所以．