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【題目】如圖，在四面體中，,.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若與平面所成的角為，點是的中點，求二面角的大小.

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).

【解析】分析：（Ⅰ）由勾股定理可得， 則，，進一步可得， 則.

（Ⅱ）結合（Ⅰ）的結論和幾何關系，以B為原點，建立空間直角坐標系，則平面BDE的法向量為，且是平面CBD的一個法向量．結合空間向量計算可得二面角的大小為．

詳解：（Ⅰ）由已知得，

，

又，，

，

，

又，，

，

.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AB與平面BCD所成的角為，即，

設BD＝2，則BC＝2，在中，AB＝4，

由（Ⅰ）中，得平面ABC⊥平面ABD，在平面ABD內，過點B作，則平面ABC，以B為原點，建立空間直角坐標系，

則，，，

，由，

，

得，

∴，，

設平面BDE的法向量為，

則，取，解得，

∴是平面BDE的一個法向量，

又是平面CBD的一個法向量．

設二面角的大小為，易知為銳角，

則，

∴，即二面角的大小為．

練習冊系列答案
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【題目】(2016高考新課標II，理15)有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數字不是1”，丙說：“我的卡片上的數字之和不是5”，則甲的卡片上的數字是________.

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（1）完成如下列聯表，并判斷是否有99%的把握認為，了解阿基米德與選擇文理科有關？

（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本．

（ⅰ）求抽取的文科生和理科生的人數；

（ⅱ）從10人的樣本中隨機抽取3人，用表示這3人中文科生的人數，求的分布列和數學期望．參考數據：

，．

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【題目】已知，，其中.

（Ⅰ）當時，求函數的單調區(qū)間；

（Ⅱ）若恒成立，求的最大值.

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【題目】某單位從一所學校招收某類特殊人才,對位已經選拔入圍的學生進行運動協(xié)調能力和邏輯思維能力的測試,其測試結果如下表:

例如,表中運動協(xié)調能力良好且邏輯思維能力一般的學生有人.由于部分數據丟失,只知道從這位參加測試的學生中隨機抽取一位,抽到運動協(xié)調能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學生的概率為.

（Ⅰ）求的值;

（Ⅱ）從參加測試的位學生中任意抽取位,求其中至少有一位運動協(xié)調能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學生的概率;

（III）從參加測試的位學生中任意抽取位,設運動協(xié)調能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學生人數為,求隨機變量的分布列.

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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為也為拋物線的焦點，點為在第一象限的交點，且.

(I)求橢圓的方程；

(II)延長,交橢圓于點,交拋物線于點,求三角形的面積.

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【題目】海水養(yǎng)殖場進行某水產品的新、舊網箱養(yǎng)殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100個網箱，測量各箱水產品的產量（單位：kg）, 其頻率分布直方圖如下：

（1）記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg”，估計A的概率；

（2）填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關：

箱產量＜50 kg

箱產量≥50 kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

（3）根據箱產量的頻率分布直方圖，對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較.

附：

P（）

0.050 0.010 0.001

k

3.841 6.635 10.828

.

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【題目】已知拋物線與直線交于不同兩點分別過點、點作拋物線的切線，所得的兩條切線相交于點.

(Ⅰ)求證為定值:

(Ⅱ)求的面積的最小值及此時的直線的方程.

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