Question

已知關(guān)于x的方程2a^2x-2-9a^x-1+4=0有一根是2．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若0＜a＜1，求不等式2a^2x-2-9a^x-1+4＜0的解集．

Answer 1

分析：（1）由x=2是原方程的解，故把x=2代入方程中得到關(guān)于a的一元二次方程，求出方程的解得到a的值；
（2）由a的范圍得出滿足題意的a的值，代入所求的不等式中把(

1

2

)x-1看做未知數(shù)，求出不等式的解集，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)為減函數(shù)得到關(guān)于x的雙向不等式組，求出雙向不等式的解集得到x的范圍，即為原不等式的解集．

解答：解：（1）用x=2代入原方程得2a²-9a+4=0，（3分）
∴a=4或a=

1

2

；（5分）
（2）∵0＜a＜1，故a=

1

2

，（7分）
則原不等式化為：2(

1

2

)2x-2-9(

1

2

)x-1+4＜0，
即[2(

1

2

)x-1-1][(

1

2

)x-1-4]＜0，
則

1

2

＜(

1

2

)x-1＜4=(

1

2

)-2，（9分）
由

1

2

＜1，得到指數(shù)函數(shù)y=(

1

2

)x為減函數(shù)，
∴-2＜x-1＜1，
解得：-1＜x＜2，
則原不等式的解集為{x|-1＜x＜2}(a=

1

2

時(shí))．（12分）

點(diǎn)評：此題考查了其他不等式的解法，涉及的知識有一元二次方程的解法，一元二次不等式的解法，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用了轉(zhuǎn)化的思想，是高考中�？嫉念}型．