Question

已知關(guān)于x的方程x²+ax+b=0的兩根均在區(qū)間（-1，1）內(nèi)，則

a+b-2

a+1

的取值范圍是

(-∞，

1

3

) ∪(3，+∞)

．

Answer 1

分析：由題意關(guān)于x的方程x²+ax+b=0的兩根均在區(qū)間（-1，1）內(nèi)，令f（x）=x²+ax+b，可得

f(1)＞0 f(-1)＞0 f(- a 2 )＜0 -1＜- a 2 ＜1

，即

1+a+b＞0 1-a+b＞0 - a2 4 +b＜0 -2＜a＜2

作出此不等式對(duì)應(yīng)的區(qū)域，如圖中陰影部分，不包括邊界，由于

a+b-2

a+1

=1+

b-3

a+1

，而

b-3

a+1

可看作點(diǎn)P（-1，3）與陰影部分內(nèi)一點(diǎn)（a，b）連線的斜率，由此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃求范圍問(wèn)題，易解．

解答：解：關(guān)于x的方程x²+ax+b=0的兩根均在區(qū)間（-1，1）內(nèi)，令f（x）=x²+ax+b
∴

f(1)＞0 f(-1)＞0 f(- a 2 )＜0 -1＜- a 2 ＜1

，即

1+a+b＞0 1-a+b＞0 - a2 4 +b＜0 -2＜a＜2

此不等式對(duì)應(yīng)的區(qū)域圖象如圖陰影部分，不包括邊界．
由于

a+b-2

a+1

=1+

b-3

a+1

，而

b-3

a+1

可看作點(diǎn)
P（-1，3）與陰影部分內(nèi)一點(diǎn)（a，b）連線的斜率，如圖紅色線即為符合條件的直線
M，N兩個(gè)點(diǎn)為邊界處的點(diǎn)，由于kPM=

3-1

-1+2

=2，kPN=

3-1

-1-2

=-

2

3

，由圖知

b-3

a+1

∈（2，+∞）∪（-∞，-

2

3

）
∴

a+b-2

a+1

=1+

b-3

a+1

∈(-∞，

1

3

) ∪(3，+∞)
故答案為(-∞，

1

3

) ∪(3，+∞)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)單線性的應(yīng)用，一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，正確解答本題，能分析出求

a+b-2

a+1

的取值范圍是解題的關(guān)鍵，由于本題通過(guò)根的分布的知識(shí)得出的不等式組較復(fù)雜，不宜將求

a+b-2

a+1

的取值范圍的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域求解，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃知識(shí)求解是本題的難點(diǎn)也是重點(diǎn)，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，考查轉(zhuǎn)化化歸的能力及數(shù)形結(jié)合解題的意識(shí)，綜合性強(qiáng)，是能力型題