【題目】如圖,在直四棱柱中,底面是邊長為2的正方形, 分別為線段, 的中點.

(1)求證: ||平面

(2)四棱柱的外接球的表面積為,求異面直線所成的角的大小.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】試題分析:(1)連接BD1,由中位線定理證明EFD1B,由線面平行的判定定理證明EF∥平面ABC1D1
(2)由(1)和異面直線所成角的定義,得異面直線EFBC所成的角是∠D1BC,由題意和球的表面積公式求出外接球的半徑,由勾股定理求出側(cè)棱AA1的長,由直四棱柱的結(jié)構(gòu)特征和線面垂直的定義,判斷出BCCD1,在RTCC1D1中求出tanD1BC,求出∠D1BC可得答案.

試題解析:

(1)連接,在中, 分別為線段的中點,∴為中位線,

,而, ,∴平面.

(2)由(1)知,故即為異面直線所成的角.

∵四棱柱的外接球的表面積為,

∴四棱柱的外接球的半徑,

設(shè),則,解得,

在直四棱柱中,∵平面, 平面,

,在中, ,

,

∴異面直線所成的角為.

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