【題目】已知f(x)=(x2﹣2ax)ebx , x為自變量.
(1)函數(shù)f(x)分別在x=﹣1和x=1處取得極小值和極大值,求a,b.
(2)若a≥0且b=1,f(x)在[﹣1,1]上是單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵f(x)=(x2﹣2ax)ebx,
∴f'(x)=ebx[bx2+2(1﹣ab)x﹣2a],
∵函數(shù)f(x)分別在x=﹣1和x=1處取得極小值和極大值,
∴﹣1,1是bx2+2(1﹣ab)x﹣2a=0的兩個(gè)根,
∴ ,∴ 或 ,
經(jīng)檢驗(yàn),
(2)解:f'(x)=ex[x2+2(1﹣a)x﹣2a]
①若f(x)在[﹣1,1]遞減,則f'(x)≤0在[﹣1,1]恒成立,
∴只需x2+2(1﹣a)x﹣2a≤0在[﹣1,1]恒成立,
即2a(x+1)≥x2+2x在[﹣1,1]恒成立,
x=﹣1時(shí)2a(x+1)≥x2+2x在[﹣1,1]恒成立;
x∈(﹣1,1]時(shí),需滿足a≥ ,令g(x)= ,
則g′(x)= >0在x∈(﹣1,1]恒成立,
∴g(x)在(﹣1,1]遞增,∴g(x)max=g(1)= ,∴a≥ ;
②若f(x)在[﹣1,1]遞增,則f'(x)≥0在[﹣1,1]恒成立,
但f'(﹣1)=﹣1,∴f(x)在[﹣1,1]不遞增;
綜上a≥
【解析】(1)求導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)f(x)分別在x=﹣1和x=1處取得極小值和極大值,﹣1,1是bx2+2(1﹣ab)x﹣2a=0的兩個(gè)根,即可得出結(jié)論;(2)先由f′(x)>0,再根據(jù)函數(shù)f(x)在[﹣1,1]上為單調(diào)函數(shù),將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x2+2(1﹣a)x﹣2a≤0在[﹣1,1]恒成立問(wèn)題,列出關(guān)于a的不等關(guān)系解之即得.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系,在某城市的某校高中生中,從男生中隨機(jī)抽取了70人,從女生中隨機(jī)抽取了50人,男生中喜歡數(shù)學(xué)課程的占,女生中喜歡數(shù)學(xué)課程的占,得到如下列聯(lián)表.
喜歡數(shù)學(xué)課程 | 不喜歡數(shù)學(xué)課程 | 合計(jì) | ||||||||
男生 | ||||||||||
女生 | ||||||||||
合計(jì) | ||||||||||
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | ||||
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 | ||||
(1)請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整;試判斷能否有90%的把握認(rèn)為喜歡數(shù)學(xué)課程與否與性別有關(guān);
(2)從不喜歡數(shù)學(xué)課程的學(xué)生中采用分層抽樣的方法,隨機(jī)抽取6人,現(xiàn)從6人中隨機(jī)抽取2人,若所選2名學(xué)生中的女生人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附:,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a>0,a≠1,設(shè)p:函數(shù)y=loga(x+1)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;q:曲線y=x2+(2a﹣3)x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn).如果p且q為假命題,p或q為真命題,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+(a﹣2)x﹣2,a∈R.
(1)若關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為[﹣1,2],求實(shí)數(shù)a的值;
(2)當(dāng)a<0時(shí),解關(guān)于x的不等式f(x)≤0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,如果與都是整數(shù),就稱(chēng)點(diǎn)為整點(diǎn),下列命題中正確的是__________.(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào))
①存在這樣的直線,既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn);
②若與都是無(wú)理數(shù),則直線不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn);
③直線經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過(guò)兩個(gè)不同的整點(diǎn);
④直線經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是: 與都是有理數(shù);
⑤存在恰經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)的直線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù), , 為實(shí)數(shù).
(1)若曲線在點(diǎn)處切線的斜率為12,求的值;
(2)若在區(qū)間上的最小值,最大值分別為 ,1,且,求函數(shù)的解析式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知 =(1,2), =(﹣3,2), 當(dāng)k=時(shí),(1)k + 與 ﹣3 垂直;
當(dāng)k=時(shí),(2)k + 與 ﹣3 平行.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知z是復(fù)數(shù),z+2i, 均為實(shí)數(shù)(i為虛數(shù)單位),且復(fù)數(shù)(z+ai)2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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