Question

如圖，已知三棱錐O-ABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點．
（1）求異面直線BE與AC所成角的余弦值；
（2）求二面角A-BE-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先以O(shè)為原點，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)出點的坐標(biāo)，求出直線直線BE與AC的方向向量，最后利用向量的夾角公式計算即得異面直線BE與AC所成的角的余弦值；
（2）先分別求得平面ABE的法向量和平面BEC的一個法向量，再利用夾角公式求二面角的余弦值即可．

解答：解：（1）以O(shè)為原點，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．

EB

=（2，0，0）-（0，1，0）=（2，-1，0），

AC

=（0，2，-1），（2分）
cos＜

EB

，

AC

＞=

-2

5 ． 5

= -

2

5

．（4分）
由于異面直線BE與AC所成的角是銳角，故其余弦值是

2

5

．（5分）
（2）

AB

=(2，0，-1)，

AE

=（0，1，-1），設(shè)平面ABE的法向量為m₁=（x，y，z），
則由m₁⊥

AB

，m₁⊥

AE

，得

2x-z=0 y-z=0

取n=（1，2，2），
平面BEC的一個法向量為n₂=（0，0，1），（7分）
cos＜n₁．n₂＞=

2

1+4+4

=

2

3

（9分）
由于二面角A-BE-C的平面角是n₁與n₂的夾角的補(bǔ)角，其余弦值是-

2

3

．（10分）

點評：考查用空間向量為工具解決立體幾何問題，此類題關(guān)鍵是找清楚線的方向向量、面的法向量，本題主要考查了兩面角的計算，考查了學(xué)生綜合分析問題的能力和解決問題的能力．