Question

如圖，已知三棱錐O-ABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=2，OB=2，OC=4，E是OC的中點(diǎn)，求二面角E-AB-C的余弦值．

Answer 1

分析：以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有

AB

=(3，0，-2)，

AE

=(0，2，-2)，

AC

=(0，4，-2)，由向量法能求出二面角A-BE-C的余弦值．

解答：解：以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則有A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，4，0），E（0，2，0），
∴

AB

=(3，0，-2)，

AE

=(0，2，-2)，

AC

=(0，4，-2)，…（3分）
設(shè)平面ABE的法向量為

n1

=（x，y，z），
則由

n1

⊥ 

AB

，

n1

⊥

AE

，
得

2x-2z=0 2y-2z=0

，取

n

₁=（1，1，1），…..（5分）
由

n2

⊥

AB

，

n2

⊥

AC

，

n2

⊥

AC

，得

2x-2z=0 4y-2z=0

，取

n

₂=（2，1，2），…..（7分）
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

5

3 •3

=

5 3

9

為二面角A-BE-C的余弦值．…..（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的合理運(yùn)用．