Question

如圖，已知三棱錐O-ABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點．
（1）求異面直線BE與AC所成角的余弦值；
（2）求直線BE和平面ABC的所成角的正弦值．

Answer 1

分析：根據(jù)題中的條件可建立以O(shè)為原點，OB、OC、OA分別為X、Y、Z軸的空間直角坐標(biāo)系然后利用空間向量進行求解：
（1）根據(jù)建立的空間直角坐標(biāo)系求出

EB

，

AC

然后再利用向量的夾角公式cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

求出cos＜

EB

，

AC

＞然后根據(jù)cos＜

EB

，

AC

＞≥0則異面直線BE與AC所成角即為＜

EB

，

AC

＞，若cos＜

EB

，

AC

＞＜0則異面直線BE與AC所成角即為π-＜

EB

，

AC

＞進而可求出異面直線BE與AC所成角的余弦值．
（2）由（1）求出

EB

和平面ABC的一個法向量

n1

然后再利用向量的夾角公式cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

求出cos＜

EB

，

n1

＞再根據(jù)若cos＜

EB

，

n1

＞≥0則直線BE和平面ABC的所成角為

π

2

-＜

EB

，

n1

＞，若cos＜

EB

，

n1

＞＜0則直線BE和平面ABC的所成角為＜

EB

，

n1

＞-

π

2

然后再根據(jù)誘導(dǎo)公式和cos＜

EB

，

n1

＞的值即可求出直線BE和平面ABC的所成角的正弦值．

解答：解：（1）以O(shè)為原點，OB、OC、OA分別為X、Y、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）…（3分）
∴

EB

=(2，-1，0)，

AC

=(0，2，-1)
∴COS＜＜

EB

，

AC

＞＞=

-2

5 •  5

=-

2

5

                …（5分）
所以異面直線BE與AC所成角的余弦為

2

5

…（6分）
（2）設(shè)平面ABC的法向量為

n1

=(x，y，z) 則

n1

⊥

AB

知

n1

•

AB

=2x-z=0

n1

⊥

AC

知

n1

•

AC

=2y-z=0取

n1

=(1，1，2)，…（8分）
則sin＜

EB

，

n1

＞=

30

30

…（10分）
故BE和平面ABC的所成角的正弦值為

30

30

…（12分）

點評：本題主要考察了空間中異面直線所成的角和直線與平面所成的角，屬立體幾何中的�？碱}型，較難．解題的關(guān)鍵是首先正確的建立空間直角坐標(biāo)系然后可將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為所對應(yīng)的向量的夾角或其補角而對于利用向量法求線面角關(guān)鍵是正確求解平面的一個法向量！