Question

【題目】如圖所示的幾何體是由棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1和棱錐D﹣AA1C1C拼接而成的組合體，其底面四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且∠BAD=60°，BB1⊥平面ABCD，BB1=2A1B1=2．
（Ⅰ）求證：平面AB1C⊥平面BB1D；
（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC， ∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
又BD∩BB1=B，∴AC⊥平面BB1D，
∵AC平面AB1C，∴平面AB1C⊥平面BB1D；
（Ⅱ）設(shè)BD、AC交于點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，以O(shè)D為y軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．
則 ， ， ，
∴ ， ， ．
設(shè)平面A1BD的法向量 ，
由 ，取z= ，得 ，
設(shè)平面DCF的法向量 ，
由 ，取z= ，得 ．
設(shè)二面角A1﹣BD﹣C1為θ，
則 ．

【解析】（Ⅰ）由BB1⊥平面ABCD，得BB1⊥AC，再由ABCD是菱形，得BD⊥AC，由線面垂直的判定可得AC⊥平面BB1D，進(jìn)一步得到平面AB1C⊥平面BB1D；（Ⅱ）設(shè)BD、AC交于點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，以O(shè)D為y軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．求出所用點(diǎn)的坐標(biāo)，得到平面A1BD與平面DCF的法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．