【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足 ．
（1）求∠ABC；
（2）若 ，D為△ABC外一點，DB=2，DC=1，求四邊形ABDC面積的最大值．

【答案】
（1）解：∵ ．

∴由正弦定理可得： sinA=sinBsinC+ sinBcosC，

∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB，

∴可得： sinBcosC+ sinCcosB=sinBsinC+ sinBcosC，

可得： sinCcosB=sinBsinC，

∵sinC≠0，解得sinB= cosB，即：tanB= ，

∴由B∈（0，π），可得：B= ．


（2）解：在△BCD中，DB=2，DC=1，

∴BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD．

又 ，由（1）可知△ABC為等邊三角形，

∴S△ABC= BC2= ×（5﹣4cosD）= ﹣ cosD，

又∵S△BDC= =sinD，

∴S四邊形ABDC= ﹣ cosD+sinD= +2sin（D﹣ ）．

∴當(dāng)D= 時，四邊形ABDC的面積有最大值，最大值為 +2．


【解析】（1）利用兩角和的正弦函數(shù)公式及三角形內(nèi)角和定理化簡已知可得tanB= ，由B∈（0，π），即可求得B的值．（2）由已知利用余弦定理可求BC2=5﹣4cosD．利用三角形面積公式可求S△ABC= ﹣ cosD， S△BDC=sinD，根據(jù)三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得S四邊形ABDC= +2sin（D﹣ ），利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求其最大值．
【考點精析】通過靈活運用正弦定理的定義，掌握正弦定理:即可以解答此題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一種畫橢圓的工具如圖1所示．O是滑槽AB的中點，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且DN=ON=1，MN=3，當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運動時，帶動N繞O轉(zhuǎn)動，M處的筆尖畫出的橢圓記為C，以O(shè)為原點，AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)動直線l與兩定直線l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分別交于P，Q兩點．若直線l總與橢圓C有且只有一個公共點，試探究：△OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】記f（n）為最接近 （n∈N*）的整數(shù)，如f（1）=1，f（2）=1，f（3）=2，f（4）=2，f（5）=2，…，若 + + +…+ =4054，則正整數(shù)m的值為（ ）
A.2016×2017
B.20172
C.2017×2018
D.2018×2019

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示的幾何體是由棱臺ABC﹣A1B1C1和棱錐D﹣AA1C1C拼接而成的組合體，其底面四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且∠BAD=60°，BB1⊥平面ABCD，BB1=2A1B1=2．
（Ⅰ）求證：平面AB1C⊥平面BB1D；
（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓C：（x﹣6）2+（y﹣8）2=1和兩點A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若對圓上任意一點P，都有∠APB＜90°，則m的取值范圍是（ ）
A.（9，10）
B.（1，9）
C.（0，9）
D.（9，11）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程是y=8，圓C的參數(shù)方程是 （φ為參數(shù)）．以O(shè)為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求直線l和圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）射線OM：θ=α（其中 ）與圓C交于O、P兩點，與直線l交于點M，射線ON： 與圓C交于O、Q兩點，與直線l交于點N，求 的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）= （a∈R），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+y+1=0垂直． （Ⅰ）試比較20162017與20172016的大小，并說明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）﹣k有兩個不同的零點x1 ， x2 ， 證明：x1x2＞e2 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，則f（x）=sin（2x+ ）+cos（2x+ ），則（ ）
A.y=f（x）在（0， ）單調(diào)遞增，其圖象關(guān)于直線x= 對稱
B.y=f（x）在（0， ）單調(diào)遞增，其圖象關(guān)于直線x= 對稱
C.y=f（x）在（0， ）單調(diào)遞減，其圖象關(guān)于直線x= 對稱
D.y=f（x）在（0， ）單調(diào)遞減，其圖象關(guān)于直線x= 對稱

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知f（x）=（ xinωx+cosωx）cosωx﹣ ，其中ω＞0，若f（x）的最小正周期為4π．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）銳角三角形ABC中，（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范圍．

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