Question

【題目】一種畫橢圓的工具如圖1所示．O是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿MN通過(guò)N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)，且DN=ON=1，MN=3，當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)N繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，M處的筆尖畫出的橢圓記為C，以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線l與兩定直線l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分別交于P，Q兩點(diǎn)．若直線l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：△OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)D（t，0），|t|≤2，

N（x0，y0），M（x，y），由題意得 =2 ，

且| |=| |=1，

∴（t﹣x，﹣y）=2（x0﹣t，y0），且 ，

即 ，且t（t﹣2x0）=0，

由于當(dāng)點(diǎn)D不動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N也不動(dòng)，∴t不恒等于0，

于是t=2x0，故x0= ，y0=﹣ ，

代入x02+y02=1，得方程為 ．

（2）解：①當(dāng)直線l的斜率k不存在時(shí)，直線l為：x=4或x=﹣4，都有S△OPQ= ，

②直線l的斜率k存在時(shí)，直線l為：y=kx+m，（k ），

由 消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，

∵直線l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4，①，

由 ，可得P（ ， ），同理得Q（ ， ），

原點(diǎn)O到直線PQ的距離d= 和|PQ|= |xP﹣xQ|，

可得S△OPQ= |PQ|d= |m||xP﹣xQ|= |m|| |=| |②，

將①代入②得S△OPQ=| |=8| |，

當(dāng)k2＞ 時(shí)，S△OPQ=8（ ）=8（1+ ）＞8，

當(dāng)0≤k2＜ 時(shí)，S△OPQ=8| |=﹣8（ ）=8（﹣1+ ），

∵0≤k2＜ 時(shí)，∴0＜1﹣4k2≤1， ≥2，

∴S△OPQ=8（﹣1+ ）≥8，當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)取等號(hào)，

∴當(dāng)k=0時(shí)，S△OPQ的最小值為8，

綜上可知當(dāng)直線l與橢圓C在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，三角形OPQ的面積存在最小值為8．

【解析】（1）根據(jù)條件求出a，b即可求橢圓C的方程；（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出原點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行求解即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：)．