【題目】已知函數.
(Ⅰ)若,求的極值;
(Ⅱ)若在區(qū)間上恒成立,求的取值范圍;
(Ⅲ)判斷函數的零點個數.(直接寫出結論)
【答案】(Ⅰ)有極大值,極大值為;沒有極小值;(Ⅱ);(Ⅲ)詳見解析.
【解析】
(Ⅰ)根據極值的定義求解;(Ⅱ)轉化為求函數的最值;(Ⅲ)根據函數的單調性和極值即可判斷.
解:(Ⅰ)當時,定義域為.
因為,所以.
令,解得,
極大值 |
所以在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減.
所以有極大值,極大值為;沒有極小值.
(Ⅱ)因為,所以在上恒成立,即在恒成立.
設
①當時,,不符合題意.
②當時,
.
令,即,
因為方程的判別式,兩根之積. 所以有兩個異號根. 設兩根為,且,
i)當時,
極大值 |
所以在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減,
所以,不符合題意;
ii)當時,,即時,
在單調遞減,所以當時,,符合題意.
綜上,.
(Ⅲ)當或時,有個零點;當且時,函數有個零點.
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【題目】某熱帶風暴中心B位于海港城市A東偏南30°的方向,與A市相距400km.該熱帶風暴中心B以的速度向正北方向移動,影響范圍的半徑是350km.問:從此時起,經多長時間后A市將受熱帶風暴影響,大約受影響多長時間?
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【題目】某工廠生產一種汽車的元件,該元件是經過、、三道工序加工而成的,、、三道工序加工的元件合格率分別為、、.已知每道工序的加工都相互獨立,三道工序加工都合格的元件為一等品;恰有兩道工序加工合格的元件為二等品;其它的為廢品,不進入市場.
(Ⅰ)生產一個元件,求該元件為二等品的概率;
(Ⅱ)若從該工廠生產的這種元件中任意取出3個元件進行檢測,求至少有2個元件是一等品的概率.
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【題目】判斷下列命題的真假:
(1)一次函數(是非零常數)的圖象一定經過點;
(2)直角三角形的外心一定在斜邊上;
(3)已知,則是的充要條件;
(4)如果都能被5整除,則也能被5整除.
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【題目】如圖,D是AC的中點,四邊形BDEF是菱形,平面平面ABC,,,.
若點M是線段BF的中點,證明:平面AMC;
求平面AEF與平面BCF所成的銳二面角的余弦值.
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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數方程為(為參數),以原點為極點,軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的普通方程與曲線直角坐標方程;
(2)設為曲線上的動點,求點到上點的距離的最小值,并求此時點的坐標.
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