已知點A(-2,3),B(3,2),過點P(0,-2)的直線l與線段AB有公共點,求直線l的斜率的取值范圍及傾斜角的取值范圍.

答案:
解析:

  思路  由題中條件“直線l與線段AB有公共點”展開聯(lián)想:①因為直線l過定點P(0,-2)與線段AB的公共點在AB上,可用運動變化的觀點,求出符合條件的所有直線的斜率;②從整體上考慮,由題中交點M在線段AB上的數(shù)學模型,聯(lián)想到M為 的定比分點,考慮運

  思路  由題中條件“直線l與線段AB有公共點”展開聯(lián)想:①因為直線l過定點P(0,-2)與線段AB的公共點在AB上,可用運動變化的觀點,求出符合條件的所有直線的斜率;②從整體上考慮,由題中交點M在線段AB上的數(shù)學模型,聯(lián)想到M為的定比分點,考慮運用定比分點的知識解決問題.

  解法一  如上圖所示,直線PA的斜率kPA=-,直線PB的斜率kPB,當直線l繞點P由PB按逆時針方向旋轉到與y軸的重合的位置時,直線l的斜率變化范圍是[,+∞),傾斜角的變化范圍是[arctan,];當直線l繞點P由y軸按逆時針方向旋轉到PA的位置時,它的斜率的變化范圍是(-∞,-],傾斜角的變化范圍是[,π-arctan].

  所以直線l的斜率的取值范圍是(-∞,-]∪[,+∞),傾斜角的取值范圍是[arctan,π-arctan].

  解法二  如上圖,設直線l與線段AB交于點M,則M是的內(nèi)分點,令=λ>0.

  由定比分點坐標公式得M(,).

  又直線l過點P(0,-2),故l的斜率k=,整理得λ=

  當點M不與B點重合時,λ≥0,即≥0,解之得k>或k≤-

  當點M與B重合時,λ不存在,可直接求出kBP

  以上同解法一.

  評析  (1)求直線傾斜角時,一要注意傾斜角的取值范圍,二要注意與之相關的三角函數(shù)及反三角函數(shù)的有關概念.

  (2)對于過兩定點的直線的傾斜角問題,一般應先考慮斜率是否存在.這是隱含在題中的一個分類因素,很容易被忽視,應引起重視.

  (3)數(shù)形結合是解析幾何中的重要思想,解題時,可根據(jù)問題的需要,借助圖形及圖形性質(zhì)直觀作出判斷,明確解題思想,既能避免繁雜冗長的計算與推理,又能考證結論是否完善.


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3
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k≤-
3
4
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