Question

【題目】設(shè)f（x）=ax2+（1-a）x+a-3．

（1）若不等式f（x）≥-3對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）解關(guān)于x的不等式f（x）＜a-2（a∈R）．

Answer 1

【答案】(1) [，+∞）．(2)答案不唯一，見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)條件不等式f（x）≥-3對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，轉(zhuǎn)化為ax2+（1-a）x+a≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立；分a=0和a≠0兩種情況討論，即可得出結(jié)論；

（2）不等式f（x）＜a-2代入化簡(jiǎn)得ax2+（1-a）x-1＜0，對(duì)a的取值進(jìn)行分類討論，即可得不等式的解集．

解：（1）由條件知不等式f（x）≥-3對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立；

即ax2+（1-a）x+a≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立；

當(dāng)a=0時(shí)，x≥0，顯然不能恒成立；

當(dāng)a≠0時(shí)，要使得ax2+（1-a）x+a≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，

滿足，解得a≥；

綜上述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[，+∞）．

（2）由條件化簡(jiǎn)不等式f（x）＜a-2，

得ax2+（1-a）x-1＜0，

①當(dāng)a=0時(shí)，不等式等價(jià)于：x-1＜0，∴x＜1，

不等式的解集為（-∞，1）；

當(dāng)a≠0時(shí)，方程（x-1）（ax+1）=0有兩個(gè)實(shí)根，1和；

②當(dāng)a＞0時(shí)，1＞，不等式等價(jià)于（x-1）（x+）＜0，

∴不等式的解集為（，1）；

③當(dāng)a＜0時(shí)，不等式等價(jià)于（x-1）（x+）＞0，

當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，1＜，

不等式的解集為（-∞，1）∪（-，+∞）；

當(dāng)a=-1時(shí)，1=，不等式的解集為{x|x≠-1}．

當(dāng)a＜-1時(shí)，1＞，

不等式的解集為（-∞，）∪（1，+∞）；