Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)，且，若在上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求證：對任意的正整數(shù)，都有成立.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．

由知，

要使在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，只須，即在內(nèi)恒成立．

于是，注意到，等號在時(shí)成立，即在時(shí)有最大值1．從而．

（2）解法一：注意到在上是減函數(shù)，所以，即．

當(dāng)時(shí)，由，得，故，不合題意．

當(dāng)時(shí)，由（1）知在上是增函數(shù)，．

又在上是減函數(shù)，所以原命題等價(jià)于，，由，解得．

綜上，的取值范圍是．

解法二：原命題等價(jià)于在上有解，設(shè)

．

因?yàn)?/span>，

故是增函數(shù)，所以，解得．

所以的取值范圍是．

（3）令，則由（1）知在內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)．

由于，故當(dāng)時(shí)，有，即．

因此，，

即，故．

于是

．