Question

已知數(shù)列{a_n}滿足

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

=

3

8

(32n-1)，n∈N*
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）設(shè)bn=1og3

an

n

，求數(shù)列{

bn

2n

}的前n項和．

Answer 1

分析：（I）由題設(shè)條

1

a1

=3，

n

an

=（

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

）-（

1

a1

+

2

a2

+…+

n-1

an-1

）=3^2n-1，由此能求出a_n．
（Ⅱ）由b_n=log₃

an

n

=-（2n-1）=1-2n，知

bn

2n

=

1-2n

2n

．由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{

bn

2n

}的前n項和S_n．

解答：解：（I）∵數(shù)列{a_n}滿足

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

=

3

8

(32n-1)，n∈N*，
∴

1

a1

=

3

8

（3²-1）=3，…（1分）
當(dāng)n≥2時，∵

n

an

=（

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

）-（

1

a1

+

2

a2

+…+

n-1

an-1

）
=

3

8

（3²ⁿ-1）-

3

8

（3^2n-2-1）=3^2n-1，…（5分）
當(dāng)n=1，

n

an

=3^2n-1也成立，所以a_n=

n

32n-1

．…（6分）
（Ⅱ）∵b_n=log₃

an

n

=-（2n-1）=1-2n，…（7分）
∴

bn

2n

=

1-2n

2n

．
∴數(shù)列{

bn

2n

}的前n項和S_n=

1-2

2

+

1-2×2

22

+

1-2×3

23

+…+

1-2n

2n

，

1

2

Sn=

1-2

22

+

1-2×2

23

+

1-2×3

24

+…+

1-2n

2n+1

，
∴

1

2

S_n=-

1

2

-（

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n-1

）-

1-2n

2n+1

=-

1

2

-

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

1-2n

2n+1

=-

1

2

-1+

1

2n-1

-

1-2n

2n+1

，
∴Sn=

4

2n

-

1-2n

2n

-3=

32n

2n

-3．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意構(gòu)造法和錯位相減法的合理運(yùn)用．