已知數(shù)列{an}滿足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

(1)若數(shù)列{bn}滿足:bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn;
(3)數(shù)列{an-bn}是否存在最大項,如果存在求出,若不存在說明理由.
分析:(1)由
bn+1-1
bn-1
=
1
an+1-
1
2
-1
1
an-
1
2
-1
=
1
3+4an
12-4an
-
1
2
-1
1-an+
1
2
an-
1
2
=
15-10an
6an-3
3-2an
2an-1
=
5
3
.知數(shù)列{bn-1}是等比數(shù)列.
(2)由bn=
1
an-
1
2
,得anbn=1+
1
2
bn
,知anbn=1+
1
2
[1+(
5
3
)n-1]=
3
2
+
1
2
(
5
3
)n-1
,由此知Sn=
n
k=1
[
3
2
+
1
2
(
5
3
)
n-1
]=
3
2
n+
1
2
[(
5
3
)
n
-1]
5
3
-1
=
3
2
n+
3
4
(
5
3
)n-
3
4

(3)由bn=
1
an-
1
2
,得an=
1
bn
+
1
2
,∴an-bn=
1
bn
+
1
2
-bn=
1
bn
-bn+
1
2
、又由(2)知,bn=1+(
5
3
)n-1
,數(shù)列{bn}單調(diào)遞增,所以數(shù)列an-bn為單調(diào)遞減數(shù)列,由此知數(shù)列an-bn中存在最大項且為該數(shù)列中的首項,其值為-1.
解答:解:(1)∵
bn+1-1
bn-1
=
1
an+1-
1
2
-1
1
an-
1
2
-1
=
1
3+4an
12-4an
-
1
2
-1
1-an+
1
2
an-
1
2
=
15-10an
6an-3
3-2an
2an-1
=
5
3

∴數(shù)列{bn-1}是等比數(shù)列,首項為b1-1=
1
a1-
1
2
-1=1
,公比為
5
3

(2)由bn=
1
an-
1
2
,得anbn=1+
1
2
bn

由(1)得bn-1=(
5
3
)n-1, ∴bn=1+(
5
3
)n-1
,
anbn=1+
1
2
[1+(
5
3
)n-1]=
3
2
+
1
2
(
5
3
)n-1
,
Sn=
n
k=1
[
3
2
+
1
2
(
5
3
)
n-1
]=
3
2
n+
1
2
[(
5
3
)
n
-1]
5
3
-1
=
3
2
n+
3
4
(
5
3
)n-
3
4

(3)由bn=
1
an-
1
2
,得an=
1
bn
+
1
2
,
an-bn=
1
bn
+
1
2
-bn=
1
bn
-bn+
1
2
,
又由(2)知,bn=1+(
5
3
)n-1

∴數(shù)列{bn}單調(diào)遞增,∴{
1
bn
}
與-bn均為遞減數(shù)列、∴數(shù)列{an-bn}為單調(diào)遞減數(shù)列,
∴當(dāng)n=1時,a1-b1=1-2=-1最大,即數(shù)列{an-bn}中存在最大項且為該數(shù)列中的首項,其值為-1、
點評:本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
則{an}的通項公式
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)證明:對于一切正整數(shù)n,不等式a1•a2•…an<2•n!

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已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|(n∈N*
(1)若a1=
54
,求an;
(2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項的和S3k(用k,a表示)

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(2012•北京模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1

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