【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+x2 (a為實(shí)常數(shù)).
(1)當(dāng)a=﹣4時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[1,e]時(shí),討論方程f(x)=0根的個(gè)數(shù);
(3)若 a>0,且對(duì)任意的x1 , x2∈[1,e],都有|f(x1)﹣f(x2)| ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:當(dāng)a=﹣4時(shí), ,
當(dāng) 時(shí),f'(x)<0;當(dāng) 時(shí),f'(x)>0.
∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 ,單調(diào)遞增區(qū)間為
(2)解:當(dāng)x=1時(shí),方程f(x)=0無(wú)解.
當(dāng)x≠1時(shí),方程f(x)=0(x∈[1,e])等價(jià)于方程 (x∈(1,e]).
設(shè)g(x)= ,則 .
當(dāng) 時(shí),g'(x)<0,函數(shù)g(x)遞減,
當(dāng) 時(shí),g'(x)>0,函數(shù)g(x)遞增.
又g(e)=e2, ,作出y=g(x)與直線y=﹣a的圖像,
由圖像知:
當(dāng)2e<﹣a≤e2時(shí),即﹣e2≤a<﹣2e時(shí),方程f(x)=0有2個(gè)相異的根;
當(dāng)a<﹣e2或a=﹣2e時(shí),方程f(x)=0有1個(gè)根;
當(dāng)a>﹣2e時(shí),方程f(x)=0有0個(gè)根
(3)解:若a>0時(shí),f(x)在區(qū)間[1,e]上是增函數(shù),函數(shù) 在區(qū)間[1,e]上是減函數(shù).
不妨設(shè)1≤x1≤x2≤e,
則|f(x1)﹣f(x2)| 等價(jià)于 .
即 ,
即函數(shù) 在x∈[1,e]時(shí)是減函數(shù).
∴ ,即 在x∈[1,e]時(shí)恒成立.
∵ 在x∈[1,e]時(shí)是減函數(shù),∴ .
所以,實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
【解析】(1)當(dāng)a=﹣4時(shí),利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得 ,在區(qū)間(0,+∞)上分別解出f′(x)>0和f′(x)<0即可得出單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)x=1時(shí),方程f(x)=0無(wú)解.當(dāng)x≠1時(shí),方程f(x)=0(x∈[1,e])等價(jià)于方程 (x∈(1,e]).
設(shè)g(x)= ,則 .分別解出g′(x)>0與g′(x)<0即可得出單調(diào)性,
又g(e)=e2 , ,作出y=g(x)與直線y=﹣a的圖像,由圖像可知a的范圍與方程根的關(guān)系;(3)若a>0時(shí),f(x)在區(qū)間[1,e]上是增函數(shù),函數(shù) 在區(qū)間[1,e]上是減函數(shù).
不妨設(shè)1≤x1≤x2≤e,則|f(x1)﹣f(x2)| 等價(jià)于 .
即 ,即函數(shù) 在x∈[1,e]時(shí)是減函數(shù).
可得 ,即 在x∈[1,e]時(shí)恒成立.再利用 在x∈[1,e]時(shí)是減函數(shù),即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知p:關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)根,q:a≤1,則¬p是¬q的( )
A.充要條件
B.充分不必要條件
C.必要不充分條件
D.不充分也不必要條件
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【題目】已知 =(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ),0<β<α<π.
(1)若| ﹣ |= ,求證: ⊥ ;
(2)設(shè) =(0,1),若 + = ,求α,β的值.
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【題目】如圖,一個(gè)水輪的半徑為4m,水輪圓心O距離水面2m,已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)5圈,如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn)p0)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間.
(1)將點(diǎn)p距離水面的高度z(m)表示為時(shí)間t(s)的函數(shù);
(2)點(diǎn)p第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約需要多少時(shí)間?
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【題目】如圖,A,B,C是橢圓M: 上的三點(diǎn),其中點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn),BC過(guò)橢圓M的中心,且滿足AC⊥BC,BC=2AC。
(1)求橢圓的離心率;
(2)若y軸被△ABC的外接圓所截得弦長(zhǎng)為9,求橢圓方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,當(dāng)∠x(chóng)Oy=α,且α∈(0, )∪( ,π)時(shí),定義平面坐標(biāo)系xOy為α﹣仿射坐標(biāo)系.在α﹣仿射坐標(biāo)系中,任意一點(diǎn)P的斜坐標(biāo)這樣定義: 、 分別為與x軸、y軸正向相同的單位向量,若 =x +y ,則記為 =(x,y).現(xiàn)給出以下說(shuō)法:
①在α﹣仿射坐標(biāo)系中,已知 =(1,2), =(3,t),若 ∥ ,則t=6;
②在α﹣仿射坐標(biāo)系中,若 =( , ),若 =( ,﹣ ),則 =0;
③在60°﹣仿射坐標(biāo)系中,若P(2,﹣1),則| |= ;
其中說(shuō)法正確的有 . (填出所有說(shuō)法正確的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{}中,,且對(duì)任意正整數(shù)都成立,數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn。
(1)若,且,求a;
(2)是否存在實(shí)數(shù)k,使數(shù)列{}是公比不為1的等比數(shù)列,且任意相鄰三項(xiàng)按某順序排列后成等差數(shù)列,若存在,求出所有k值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖F1、F2是橢圓C1:+y2=1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn),A、B分別是C1、C2在第二、四象限的公共點(diǎn),若四邊形AF1BF2為矩形,則C2的離心率是( )
A. B. C. D.
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【題目】某公司研究開(kāi)發(fā)了一種新產(chǎn)品,生產(chǎn)這種新產(chǎn)品的年固定成本為150萬(wàn)元,每生產(chǎn)千件,需另投入成本為 (萬(wàn)元), .每件產(chǎn)品售價(jià)為500元.該新產(chǎn)品在市場(chǎng)上供不應(yīng)求可全部賣完.
(Ⅰ)寫(xiě)出年利潤(rùn)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量(千件)的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該公司在這一新產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大?
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